Tenglikka ko`ra (1) va (2) lardan kelib chiqadiki: birinchidan, (5) ning o`ng tomoni

Musbat qatorlarni taqqoslash haqidagi teoremalar
Musbat qatorlarni tekshirish uchun hadlarini qandaydir yaqinlashuvchi qatorning mos hadlaridan ortmasligini yoki qandaydir uzoqlashuvchi qatorning mos hadlaridan kichkina emasligini ko`rsatish bilan olib boriladiki, bunday taqqoslash quyidagisodda teoremaga asoslangandir.
1-teorema. Musbat
(1)
va
(2)
qatorlar berilgan bo`lib, barcha n larda
0 (3)
bo`lsin. U holda :

1. 
   (2) qator yaqinlashsa,(1)qator ham yaqinlashadi va
   

bo`ladi;

2. 
   (1) qator uzoqlashsa (2) qator ham uzoqlashadi.
   

Isboti. (2) qator yaqinlashuvchi va deb olaylik. U holda musbat qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartiga ko`ra barcha n larda bo`lib undan esa (3) ga ko`ra bo`ladi. Oxirgi tengsizlik esa (1) qatorning yaqinlashishini va yig`indisi B dan ortmasligini bildiradi. Shu bilan

1. 
   hol to`la isbotlandi.
   
2. 
   holning isbotini teskarisini faraz qilish bilan a) holdan osongina keltirib chiqariladi.
   

Eslatma. Qatorning dastlabki cheklita hadlarini o`zgartirish qatorning yaqinlashishini yoki uzoqlashishini o`zgartirmagani uchun (3) tengsizliklar n ning qandaydir qiymatidan boshlab bajariladi deb hisoblash mumkin.
Ba`zan amalda 1-teoremadan kelib chiqadigan, quyidagi teorema foydalanishga qulayroqdir.
2-teorema. Musbat

va

qatorlar uchun

limit mavjud bo`lsin. U holda 0Isboti. Ma`lumki teorema shartlarida ixtiyoriy >0 uchun n ning qandaydir qiymatidan boshlab

va bo`lgani uchun

tengsizliklar bajariladi. Oxirgi tengsizliklardan esa deb qaraymiz) 1- teorema va unga eslatma hamda yaqinlashuvchi qatorlarni songa ko`paytirish haqidagi teoremalar yordamida 2-teoremaning to`g`riligiga kelamiz.