Tenglikka ko`ra (1) va (2) lardan kelib chiqadiki: birinchidan, (5) ning o`ng tomoni

15-misol. Garmonik qatorning uzoqlashishini qator yaqinlashishining zaruriy va yetarli shartini tekshirish bilan ko`rsating.
Yechilishi. Garmonik qator uchun

bo`lib, natijada


ayirma n ning barcha qiymatlarida doimo dan katta bo`lgani uchun bo`lganda qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartida aytilgan M son topilmaydi.
Qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartini ifodalovchi yuqoridagi teorema nazariy jihatidan ko`p narsalar berishiga qaramasdan, amalda, misollar yechishda tadbiq qilish anchagina noqulaydir.
Shu sababli qatorning ayrim sinflari bilan ishlash zaruruyati tug`iladiki, bu sinflar uchun yuqoridagi teorema soddaroq ko`rinishni oladi. Shunday sinflardan biri musbat qatorlardir.
Musbat qatorlar.
Musbat qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli sharti.
Qisqacha Musbat qator deb ataluvchi, ya`ni hamma hadlari musbat bo`lgan
(1)
qatorni qaraylik.
Bunday qatorning xususiy yig`indilari ketma-ketligi hadlari musbatligiga ko`ra monoton o`suvchidir, ya`ni
(
Monoton o`suvchi ketma-ketlik limitining mavjudligi haqida Veyershtrass teoremasiga ko`ra
Teorema. Musbat (1) qator doimo yig`indigo ega; agar qatorning xususiy yig`indilari ketma-ketligi ( yuqoridan chegaralangan bo`lsa (qator yaqinlashib), bu yig`indi chekli, aks holda (qator uzoqlashib) yig`indi cheksizdir.
16-misol. Ushbu

qatorni tekshiring, bu yerda s-ixtiyoriy haqiqiy son.
Yechilishi. a) s bo`lganda ya`ni tekshirayotgan qatorning har bir hadi garmonik qatorning mos hadidan kichkina bo`lmagani sababli xususiy yig`indilari yuqoridan chegaralanmagan va bundan tashqari qator musbatligiga ko`ra yuqoridagi teoremadan kelib chiqadiki, tekshirayotgan qatorning yig`indisi + ga teng bo`lib, qator uzoqlashuvchidir.
b) s>1 bo`lganda s=1+ ( deb olaylik.
bilan tekshirilayotgan qatorning n- xususiy yig`indisini belgilab uning qismiy ketma-ketligini qaraylik. Hisoblasak,
<

va


Oxirgi tengsizlik ko`rsatadiki, qaralayotgan qatorning xususiy yig`indilari ketma-ketligi ning qismiy ketma-ketligi bo`lgan ketma-ketlik, yuqoridan son bilan chegaralangan. U holda ning o`zi ham shu son bilan chegaralangan bo`lib, teoremaga ko`ra tekshirilayotgan qator yaqinlashuvchidir. Demak,

qator

1. 
   s bo`lganda uzoqlashuvchi;
   
2. 
   s>1 bo`lganda yaqinlashuvchi.