Tengsizliklarni isbotlash. Tengsizliklar teng-kuchliligi. Kasr-ratsional va yuqori darajali tengsizliklar

5-misol. x²-5x+6>0 tengsizlikni yeching.

Yechish. D= (-5)²-4 • 1 6>0, a= 1 > 0, x₁ = 2 va x₂ = 3 larga egamiz. x²-5x + 6 kvadrat uchhad musbat qiymatlar qabul qiladigan barcha x R lar qidirilmoqda. Isbotlangan teoremaga ko'ra, bo'lishi kerak.

Javob:

6-misol. x² - 4x + 5 > 0 tengsizlikni yeching.

Yechish. D=(-4)²- 4*1 * 5 = -4<0 bo'lgani uchun, isbotlangan teoremaga ko'ra, barcha larda x²--4x + 5 kvadrat uchhad qiymatining ishorasi a ning ishorasi bilan bir xil bo'ladi.

a = 1 > 0 ekanidan ko'rinadiki, barcha lar uchun x² - 4x + 5 > 0 bo'ladi.

Demak, berilgan tengsizlik barcha lar uchun o'rinli.

Javob:

7- m i s o 1. -x² + 4x - 5 > 0 tengsizlikni yeching.

Yechish. D = 4²-4 * (-1) * (-5)= --4<0 bo'lgani uchun barcha larda

–x² + 4x-5>0 ning ishorasi a = -1 ning ishorasi bilan bir xil, ya'ni barcha lar uchun -x² + 4x-5<0 bo'ladi. Demak, berilgan tengsizlik x ning hech bir qiymatida bajarilmaydi.

Javob: 

6. Ratsional tengsizliklarni oraliqlar usuli yordamida yechish.

a_{1 ,} a_{2 ,} a₃ , ..., a_n-1 , a_n sonlar haqiqiy sonlar va a₁< a₂ < a₃< .. < a_n-1 , < a_n bo'lsin. Quyidagi tengsizlikni qaraymiz:

(x- a₁)(x- a₂)(x-a₃)... (x- a_n-1)(x- a_n) > 0, (1)

a_{1 ,} a_{2 ,} a₃ , ..., a_n sonlari son to'g'ri chizig'ini (- ∞;a,), (a₁; a₂), (a₂;a₃),..., (a_n-1; a_n ),(a_n; ∞) oraliqlarga ajratadi.

Shu oraliqlardan, ixtiyoriy ikkita go’shni oraliqni, masalan, (a_k ; a_k+]) va (a_k+l ; a_k+2) oraliqni ajratib olaylik.

(1) tengsizlikning chap tomonidagi ko'paytma bu oraliqlarning biridan ikkinchisiga o'tganda o'z ishorasini o'zgartiradi.

Haqiqatan ham, agar x(a_k ; a_k+l) bo'lsa, x-a_k+1 <0 va agar x(a_k+l ; a_k+2) bo'lsa, x-a_k+l>0 bo'ladi, ya'ni x-a_k-1 ikkihad (a_k ; a_k+l) va (a_k+1; a_k+2) oraliqlarda har xil ishorali bo'ladi. (1) tengsizlikning chap tomonidagi qolgan ko'paytuvchilar ko'paytmasi bu oraliqlarda bir xil ishoraga ega.

Shu sababli (1) ning chap tomonidagi ko'paytmaning ishorasi bu oraliqlarda har xil bo'ladi. Bu esa (1) tengsizlikni yechishning quyidagi usulini beradi. (1) tengsizlik (a_n; +∞) oraliqda o'rinli bo'lgani uchun (a_n-1; a_n ) oraliqda o'rinli emas; (a_n-1; a_n ) oraliqda o'rinli bo'lmagani uchun (a_n-2; a_n-1 ) oraliqda o'rinli va hokazo.

8- m i s o 1. 2(2x- 5)(3x- 8)(5- 4x) < 0 tengsizlikni yeching.

Yechish. Tengsizlikni >0 ko'rinishga keltiramiz. va nuqtalar son o'qini oraliqlarga ajratadi (24-a- rasm). Oxirgi tengsizlik, oraliqlarda o'rinli.

Javob: U.

9-misol. tengsizlikni yechamiz.

Yechish. x=2, x=4 sonlari tengsizlikning yechimi emas. x 2, x 4 bo'lganda (x-2)²•(x-4)² >0 bo'ladi. Shu sababli tengsizlikning har ikki tomonini (x - 2)² • (x - 4)² ga ko'paytirish natijasida berilgan tengsizlikka teng kuchli quyidagi tengsizlik hosil bo'ladi:

(x +1)x² (x-1)(x-2)(x-4) >0.

Oxirgi tengsizlikning chap tomonidagi ifoda (4; +∞) oraliqda musbat, (3; 4) oraliqda manfiy, (2; 3) oraliqda musbat, (0; -2) oraliqda manfiy qiymatlar qabul qiladi.

(x-0)² ko'paytuvchi juft daraja bilan qatnashmoqda. Shuning uchun oxirgi tengsizlikning chap tomonidagi ko'paytma (-1; 0) va (0; 2) oraliqlarning biridan ikkinchisiga o'tishda o'z ishorasini o'zgartirmaydi (24-b-rasm), ya'ni bu oraliqlarning ikkalasida ham manfiy qiymatlar qabul qiladi. Oxirgi tengsizlikning chap tomonidagi ifoda (-∞; -1) oraliqda musbat qiymatlar qabul qiladi.

Berilgan tengsizlikning barcha yechimlari to'plamini aniqlaymiz.

Javob: (-∞;- 1)U (2; 3) U (4; +∞).

Nazorat uchun savollar:

1. Tengsizlik turllarini ayting?

2. Bir o’zgaruvchili tengsizlik deb nimaga aytiladi?

3. Tengsizlikning joiz qiymatlar sohasi qanday?

4. Teng kuchli tengsizliklar deb nimaga aytiladi?

5. Oraliqlar usuli?

6. Modulli tengsizliklarni yechish usullari?

7. Teng kuchli tengsizliklarga misol keltiring?

8.Tengsizlik turllarini ayting?

9.Bir o’zgaruvchili tengsizlik deb nimaga aytiladi?

10. Tengsizlikning joiz qiymatlar sohasi qanday?

11. Teng kuchli tengsizliklar deb nimaga aytiladi?

12.Chiziqli tengsizlikka ta’rif bering?

13.Kvadrat tengsizlikning umumiy ko’rinishi qanday?

14.Kvadrat tengsizlikni yechishning xususiy hollari?

15. Oraliqlar usuli?

16. Ratsional tengsizliklarni oraliqlar usuli bilan yechish?

17. Teng kuchli tengsizliklarga misol keltiring?