Tengsizliklarni isbotlash. Tengsizliklar teng-kuchliligi. Kasr-ratsional va yuqori darajali tengsizliklar

ax² + bx + c> 0 (ax² + bx + c> 0) yoki ax² + bx + c< 0 (ax² + bx+ c < 0) ko'rinishdagi tengsizlik kvadrat tengsizlik deyiladi (bunda x—o'zgaruvchi, a0, b,c-o'zgarmas sonlar).

Kvadrat tengsizliklarni yechishning asosida quyidagi teorema yotadi:

Teorema. ax² + bx + c kvadrat uchhadning diskriminanti bo’lib, lar kvadrat uchhadning ildizlari bo'lsa, ax² + bx+c kvadrat uchhad qiymatining ishorasi bo'lganda, a ning ishorasiga qarama-qarshi, bo'lganda esa a ning ishorasi bilan bir xil bo'ladi. ax² + bx + c kvadrat uch­hadning diskriminanti D < 0 bo 'Isa, uchun kvad­rat uchhad qiymatlarining ishorasi a ning ishorasi bilan bir xil bo'ladi.

Isbot. D>0 bo'lsin. Kvadrat uchhadni chiziqli ko'paytuvchilarga ajratamiz:

ax² + bx+c =

Agar x > x₂ yoki x < x₁ bo'lsa, x – x₁ va x - x₂ ikkihadlar bir xil ishorali bo'lib, ularning ko'paytmasi musbat son bo'ladi. Shu sababli a( x - x₁ )( x - x₂ ) ko'paytmaning va demak,

ax² + bx+c kvadrat uchhadning ham, ishorasi a ning ishorasi bilan bir xil bo'ladi.

Agar bo'lsa, x-x₁>0, x-x₂<0 bo'lgani uchun ularning ko'paytmasi manfiy bo'ladi. Shu sababli a(x-x₁)(x-x₂) ko'paytmaning va demak, ax¹ + bx+c ning ishorasi a ning ishorasiga qarama-qarshi bo'ladi.

ax² + bx + c kvadrat uchhadning diskriminanti D < 0 bo’lsin. U holda tenglikdan ax² + bx+c kvadrat uchhadning ishorasi barcha lar uchun a ning ishorasi bilan bir xil bo'lishi kelib chiqadi.