Тепловые свойства твердых тел

часть энергии.
Для расчета 
необходимо знать функцию распределения фононов по частотам 
. Однако даже для простой трехмерной структуры получить аналитическое 
выражение для 
 очень сложно. Поэтому вычисление энергии колебаний 
производится для конкретных моделей, в которых вводится предположение о виде 
функции 
. Существуют два основных приближения: Эйнштейна (1907) и Дебая 
(1912). 

2.1.3 
Приближение Эйнштейна 
Эйнштейн для объяснения поведения теплоемкости в зависимости от температуры 
(рис. 6.1) исходил из следующих предположений: 

твердое тело представляет собой совокупность гармонических осцилляторов, 
совершающих колебания с одинаковой частотой в трех взаимно перпендикулярных 
направлениях; 

энергия осцилляторов изменяется порциями (квантами) в соответствии с 
постулатами Планка. 
Итак, в приближении Эйнштейна предполагается, что все 3N осцилляторов в системе 
колеблются с одинаковыми частотами 
так, что 
, 
(6.16) 
где 
− так называемая эйнштейновская частота колебаний, а 

− дельта-функция 
Дирака, обладающая тем свойством, что для любой функции 
выполняется равенство 
, т. е. в пределе дельта-функцию Дирака можно рассматривать как 
функцию с единственным очень острым пиком. Используя вид функции распределения 
(6.16), получим выражение для тепловой энергии рассматриваемой системы 
. 
(6.17) 
Следовательно, теплоемкость твердого тела в приближении Эйнштейна можно 
определить как 
. 
(6.18) 

---

Рассмотрим случай высоких температур, когда 
, раскладывая в ряд 
экспоненту в выражении (6.18) и ограничиваясь двумя слагаемыми разложения, получим 
Отсюда теплоемкость 
. 
(6.19) 
Для высоких температур приближение Эйнштейна сводится к закону Дюлонга и Пти (6.3).
Рассмотрим случай низких температур, когда 
. Тогда 
и из 
(6.28) следует, что удельная теплоемкость принимает вид 
. 
(6.20) 
В уравнении (6.20) преобладает экспоненциальный множитель и удельная 
теплоемкость 
стремится к нулю по закону экспоненты. 
Рассмотрим конкретную задачу для кристалла золота (Au). Для золота частота 
Эйнштейна 
= 3,7

10
12 
Гц. Пользуясь соотношением (6.20), рассчитаем зависимость 
молярной теплоемкости от температуры для моля золота (
). Из табл. 6.1 [74] 
видно, что с уменьшением температуры экспонента убывает быстрее, чем растет 
множитель, пропорциональный 
, и при температурах, близких к 0 К, удельная 
теплоемкость
практически полностью определяется экспоненциальным множителем 
. 
Таблица 6.1. Зависимость молярной теплоемкости от