Termiz davlat universiteti fizika matematika fakulteti

2.Determinantni Gaus usulida hisoblash.

Determinantlarning tartibi(elementlar soni) katta bo’lganda yuqoridagi usullar bilan determinantlarni hisoblash qiyin bo’ladi. SHuning uchun bu determinantlarni Gauss usulida hisoblash maqul bo’ladi. Determinantni Gauss usuli asosida hisoblash dasturini kompyuterda tuzish qulay bo’ladi. Biz asosiy determinant d ni Gauss usuli asosida hisoblashni bajaramiz.

Ushbu

Asosiy determinantdagi birinchi satrning yetakchi birinchi a₁₁=20 elementini determinant belgisidan tashqariga chiqaramiz, ya’ni birinchi satr elementlarini har birini a₁₁=2 ga bo’lamiz:

hosil bo’lgan determinantda birinchi satr elementlarini ketma-ket 3 va 5 larga ko’paytirib, mosravishda 2- va 3- satrlardan ayiramiz:

Bu hosil bo’lgan determinantning ikkinchi va uchinchi satriga yana GAUSS usulini qo’llaymiz. Ikkinchi satrining yetakchi a⁽¹⁾₂₂ =7/2 elementini determinant belgisidan tashqariga chiqaramiz, ya’ni ikkinchi satr elementlarini har birini a₁₁=7/2 ga bo’lamiz:

hosil bo’lgan determinantda ikkinchi satr elementlarini 15/2 ga ko’paytirib, mosravishda 3- satrdan ayiramiz:

hosil bo’lgan determinantning oxirgi satridagi yetakchi a(2)33= -3/7 elementini determinant belgisidan tashqariga chiqaramiz:

hosil bo’lgan determinant bosh diagonali elementlari 1 sonidan va diagonal ostidagi elementlari 0 dan iborat bo’lgani uchun uning qiymati 1 ga teng. Natijada acosiy determinant qiymati diogonal yetakchi elementlarining ko’paytmasidan iborat bo’ladi:

d=a₁₁a⁽¹⁾₂₂a⁽²⁾₃₃ 1=2 (2/2) (-3/7) 1= -3.

Huddi shuningdek Gauss usuli bilan qolgan determinantlarni ham hisoblash mumkin. Yuqoridagi Gauss usulini NxN tartibli determinant uchun xisoblash formulasini beramiz:

Bu determinantning yetakchi elementi a₁₁0 bo‗lsin. Bu a₁₁ elementni determinant belgisi oldiga chiqarib yozamiz:

Determinantning ikkinchi, uchinchi va h.k. satrlarning birinchi elementlarini birinchi satriga ko’paytirib, hosil bo’lgan birinchi satr elementlarini mosravishda ikkinchi, uchinchi va h.k. satrlarning elementlaridan ayiramiz. Determinantning qiymati o’zgarmaydi:

Oxirgi determinantni birinchi satri bo’yicha yoyib

Bu ) determinantning yetakchi elementi a⁽¹⁾₂₂ 0 bo’lsin. a⁽¹⁾₂₂ elementini determinant belgisi oldiga chiqarib yozamiz:

determinantga ega bo’lamiz. Bu yerda

a⁽²⁾_ij=a⁽¹⁾_ij – a⁽¹⁾_i2 b_2j va b⁽¹⁾_2j = a⁽¹⁾_2j/a⁽¹⁾₂₂ , j = 3,4,…,n

Bu jarayonni N marta takrorlasak, determinant qiymati yetakchi elementlarning ko’paytmasidan iborat bo’lishini ko’ramiz:

Bu determinantni hisoblash dasturini tuzish uchun yetakchi elementlarni hisoblash formulalarini ketma-ket yozib olamiz:

Agar berilgan determinant yetakchi satridagi yetakchi element a₁₁=0 bo‗lsa, bu satrni yetakchi elementi noldan farqli bo’lgan satr bilan almashtiramiz. Sistemaning yetakchi element noldan farqli bo’lgan holda Gauss usuli bilan determinantni hisoblash dasturini ko’ramiz:

Masala asosida berilganlar.