Termiz davlat universiteti matematika fakulteti «algebra va geometriya» kafedrasi ismoilov muhriddin mamatqobil o

II bob. VOLTERNING INTEGRAL TENGLAMALARINI YECHISH
2.1-§. Volterning tenglamalarini taqribiy yechish.
Integral tenglamalar nazariyasidan ma’lumki, agarda yadro sohada uzluksiz funksiya, –esa uzluksiz funksiya bo’lsa, u holda

Volterrning 2-tur integral tenglamasi ning ixtiyoriy qiymatida yagono yechimga ega bo’ladi.

Bu yechimni

ko’rinishda izlash mumkin.

(2.2) ni (2.1) ga qo’yib, ning bir xil darajalari oldidagi kaeffisentlarni tenglashtirib, quyidagini olamiz

(2.3)

Agar

,

bo’lsa, u holda

bo’ladi.

Bundan, agar biz (2.1) integral tenglamaning taqribiy ildizi sifatida (2.2) qatorning n -xususiy olsak:

U holda, uning qoldig’ini

ko’rinishda baholanishi mumkin.

2.2-§. Volterning integral tenglamalarini taqribiy yechimi xatoligini baholash.
Judayam qo’pol shu bilan birgalikda juda oddiy xatolik baxosi quidagicha:
L bilan ko’paytmani belgilaymiz va (2.5) bahodan ni chiqaramiz,

hosil bo’ladi. Katta qavs ichidagi qatorni

U holda quyidagi bahoni olamiz:

Shunda faraz qilamiz shunachalik kata bo’lsinki, unda bo’lsin. Agar (2.3) da kvadraturani hisoblab bo’lmasa, u holda ularni hisoblablash uchun teng uzoqlashgan absissali kvadratur formulalarni qo’llashlash mumkin.
Masalan, umumlashgan trapetsiya formulasini qo’llaymiz. Agar [a, b] kesmani ta teng qisimga bo’sak va

, ning

taqribiy qiymatini deb belgilasak, u holda

Yoki

.
ga ega bo’lamiz.
ni hisoblab, (2.1) integral tenglamaning taqribiy yechimi


formula bilan topilgan tugunlarda olamiz.
Simpson umumlashgan formulasi qo’llaganda, [a, b] kesmani 2s ta teng qisimga bo’lamiz ,

U holda

Integralni yechishda Simpson formulasini qo’llab

ga ega bo’lamiz.

Toq larda ning qiymati interpolyasilash yo’li bilan topiladi.
(2.1) Integral tenglamani yechish uchun tenglamadagi integralni to’g’ridan to’g’ri biror kvadratur formulaning yig’indisi bilan almashtirish usulini qo’llash mumkin. Masalan, umumlashgan trapitsiya formulasini qo’llashda oraliqni n ta bo’lakka bo’lib,

larda

Yoki

ga ega bo’lamiz.

Shunda

Manosi [22] toq raqamlari uchun interpolatsiya orqali axtarishga majbur bo’lamiz.

Tenglamaning taxminiy yechimi uchun (2.4) integralni to’g’ri almashtrish usuli bilan ham qo’llash mumkin, tenglamaga kirgan har qanday kvadrat formulasining yakuniy yig’indisi bo’yicha.
Masalan trapetsiyaning umumlashtrilgan formulasini qo’llasak chiziqni teng qisimlarga bo’lish orqali quidagi vujudga keladi

Yoki

Shunda

Shunday qilib, hamma qiymatlarini qadamma-qadam topamiz .

Volterraning 1-tur

integral tenglamasiga kelsak, va uzluksiz differensiallanuvchi, , uni Volterraning 2-tur integral tenglamasiga keltirish mumkin.

(2.1) tenglamaning ikkala qismini differensiallab

ga ega bo’lamiz va Volterraning

2-tur integral tenglamasining yechimi bo’ladi.

Masalan

Integral tenglamaning yechimini toping .

Yechish: 1-usul
Yechimni quidagicha topamiz

Bu yerda

Integrallash natijasida quidagilarga ega bo’lamiz :

bu yerdan

Bu tenglamaning aniq yechimi

.

Taqqoslash uchun aniq yechimi va taxminiy yechimlarning manosini keltiramiz [31] quidagicha