Termodinamika fani nazariy fizikaning asosiy bo`limlaridan biri xisoblanadi

1.12. TeRMODINAMIK KOEFFITsIeNTLAR. POLITROPIK 

JARAYoNLAR.IChKI ENeRGIYa VA xAJM 

 

T  =const  bo`lganda  ichki  energiya  U(S,V)  va  sirt  erkin  energiyasi  F  (T,V) 

orkali aniklanadi. Ichki energiya uchun 

 

(

)

(

)

T

V

T

U

V

U

T

,

,

∂

∂

=













∂

∂

 

 

S,V o`zgaruvchilarga o`tsak: 

 

(

) ( )

( ) ( )

S

V

V

S

S

V

V

T

V

T

T

S

T

P

S

T

V

U

V

T

S

U

T

S

T

V

V

S

V

S

T

U

V

U













∂

∂













∂

∂

−

−

=



















∂

∂













∂

∂

−

−



















∂

∂













∂

∂













∂

∂

−

=

∂

∂

∂

∂

=













∂

∂

,

,

,

,

  (1.12.1’) 

 

Bunda 

 

V

V

T

V

S

T

P

C

T

V

S

S

T

V

P













∂

∂

−

=













∂

∂













∂

∂

−

=













∂

∂

  

(1.12.1) ga 

 

Asosan: (1.12.1’) ni yozamiz 

 













−













∂

∂

=













∂

∂

T

P

T

P

T

V

U

V

T

 

 

 

 

(1.12.2) 

 

ifodaning  o`ng  tomonini  agar  gaz  xolati  anik  bo`lsa  topish  mumkin.  PV=RT 

tenglamadan foydalanib,  

 

(

)

0

=

∂

∂

T

V

U

  

 

 

 

 

(1.12.3)  

 

U=U(T), U(T) boxlanishni topish uchun, bilamizki o`zgarmas xajmda  

 

V

V

V

V

V

C

T

U

dT

C

Q

dU

=













∂

∂

=

=

,

δ

 

 

Shu sababli ideal gaz uchun ichki energiya 

 

∫

=

dT

T

C

T

U

V

)

(

)

(

 

 

Gaz  bajargan  ish 

const

T

C

Т

U

V

+

=

)

(

  (1.12.3)  da  molekulyar  fizika  nuktai 

nazardan  masofadan  molekulalarning  o`zaro  ta`siri  ideal  gazda  e`tiborga 

olinmaydi. 

(e

n

  =0)  Shu  sababli  gaz  ichki  energiyasi  o`zgarishiga  ta`sir  kilmaydi.  e

k

  =  const  . 

T=const  C=  const  jarayon,  issiklik  siximi  o`zgarmas  –  politropik  jarayonda  ega 

bo`lamiz. 

 

PdV

Q

A

Q

dU

dV

V

U

dT

C

dU

cdT

Q

T

V

−

=

−

=













∂

∂

+

=

=

δ

δ

δ

δ

,

   

(1.12.4) va  

 

(1.12.2) formulaga asosan  

 

dV

T

P

T

dT

C

CdT

V

V













∂

∂

+

=

 

 

Bundan, 

 

(

)

V

V

C

T

P

T

C

C

T

V

∂

∂

−

=













∂

∂

 

 

 

 

 

(1.12.5) 

 

Agar  termik  xolat  tenglamalar  P=p  (T,V)  anik  bo`lsa,  (1.12.5)ni  integrallab 

politropik xolat tenglamalarini T,V; PV; PT parametrlar bo`yicha xosil kilamiz: 

1) P=RT\V, C

V

 =const bo`lganda (1.12.5) tenglama kuyidagicha ko`rinishni oladi. 

 

(

)

0

1

=

−

+

V

dV

x

T

dT

  

 

 

 

(1.12.6) 

 

Bunda  x  –politrop  ko`rsatgichi  deyiladi  va 

C

C

C

С

х

V

P

−

−

=

.  (1.12.6)  ni  integrallab 

(T,V)  o`zgaruvchilar  uchun  politrop  tenglamasini  olamiz: 

const

TV

x

=

−

1

. 

Shuningdek,  xîëat  tenglamasidan  (P,V)  parametrlar  uchun  politrop  tenglamani 

yozamiz: 

const

PV

x

=

. 

 

Shuningdek, 

(P,T) 

o`zgaruvchilar 

uchun: 

const

T

P

x

x

=

−

1

.  

Politrop jarayonlar ayrim xususiy xollarini ko`rib o`tamiz: 

Izobarik jarayoni: S = S

P

, x=0 bo`lsa, natija xosil bo`ladi P=const, V\T=const –Gey 

–Lyussak konuni xosil bo`ladi. 

Izotermik jarayoni: Bu xolda S = 

±

 

∞

, x=1 dan ega bo`lamiz: T=const, PV=const 

Boyl-Mariotta konuni. 

Adiabatik jarayoni: Bu erda S=0, x=

V

P

C

С

=

γ

 dan ega bo`lamiz TV

γ

-1 

= const; P

γ

-1 

\T

γ

 

= const, PV

γ

 =const Puasson konuni. 

Izoxorik  jarayoni:  Bunda  S=  S

V

;  x

→±∞

,  politrop  tenglamasini  x

-1

  ga  ko`tarib, 

chegara  kiymatlari  ega  bo`lamiz  V=const,  P\T=  const  –  Sharl`  konuni.  Anik 

bo`ladiki, politrop darajasidan 

 

x

xC

С

С

V

P

−

−

=

1

 

 

 

 

 

(1.12.7) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10-rasm. 

 

 

 

 

 

11- rasm. 

 

PV tekislikda S –politrop ko`rsatgichi - 

∞

 < x < 1; 

γ

 < x < 

∞

 va 1 

γ

 intervalda 

o`zgaradi. S > 0; S < 0 kiymatlarda manfiy kiymatlar burchaklar ichkarisida yotadi. 

(PV  –koordinatlarda)  –  izoterma,  adiabata  xîñil  bo`ladigan  nukta  atrofida  yotadi. 

 

 

            

х

 = 

±

 

∞

 

 

 

 

 

 

х

 = 0 

 

 

 

 

х

 = 1 

 

 

 

 

 

 

 

х

 = 

γ

 

 

 

       

х

 = 

±

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

х

 = 0 

 

 

 

 

х

 = 1 

 

 

 

 

 

х

 = 

γ

 

 

Sistemaga  S=0  issiklik  berilmaydi,  T=const  gazga  issiklik  beriladi,  u  ishni 

kompensatsiyalaydi. U = U (T); T=const, dU=0, 

δ

Q=

δ

A. 

Ma`lum oralikda politrop gaz kengayishda 

0 < 

δ

Q < 

δ

A va  dU = 

δ

Q - 

δ

A = C

V

dT < 0 

 

Demak  dT<0 va C=

δ

Q/

δ

T<0. 

Politrop  tenglamasini  TS  tekisligida  topamiz:  TS  –  tekislikda  politrop 

koeffitsienti (

∂

T/

∂

S) = T/C ni integrallab 

 

(

)(

) (

)

[

]

R

x

S

x

T

e

T

T

C

C

S

γ

γ

−

−

−

=

=

1

1

exp

0

/

0

 

 

T

0

  =const,  (1.12.7)  dan  foydalandik.  S  uchun  C

V

=R/(

γ

-1)  (16.8)ning  grafigi  2-

rasmda tasvirlangan xususiy xolda x=0, x=1, x=

γ

, x

→±∞

, 1

γ

. Manfiy politrop 

manfiy issiklik sixim mos keladi. 

 

(

)

C

T

S

T

С

∂

∂

=

 

 

Masala: a) o`zgaruvchi parametrlar (T,V), 

ϕ

 (T,V)=0; 

b)  o`zgaruvchi  T,R, 

ϕ

  (T,R)  =0  bo`lganda  termik  ideal  gaz  issiklik  siximini  shu 

jarayonlar uchun aniklang: 

echimi: a) 

V

T

T

P

T

С

С

V

V

'

'

ϕ

ϕ

ϕ













∂

∂

−

=

, ideal gaz 

( )

'

'

V

T

V

P

C

C

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

 

 

b) 

(

)

'

'

;

'

'

P

T

P

P

P

V

C

C

P

T

T

V

T

С

С

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

=













∂

∂

+

=

 

 

1.13. MUVOZANATDAGI TIZIMLAR TeRMODINAMIKASI 

  

ReJA: 

 

1.Termodinamikaning asosiy konunlari va uslublari . 

2.Termodinamikaning asosiy tushunchalari. 

3.Termodinamik xolat. 

 

Muvozanat  xolatda  bo`lgan  xar  kanday  makroskopik  jism-termodinamik 

sistema deb ataladi. Termodinamik xolatni aniklaydigan asosiy parametrlar turlicha 

bo`lishi mumkin. Masalan: suyuklik va gazlarning xolatini shunday parametrlar :R 

(bosim),V(xajm),T(xarorat);  -    suyuklik  pufagi  katlamida  - 

α

  (sirt  taranglik 

koeffitsent), 

σ

 - (plenka yuzasi), T (absolyut xarorat), 

l

 (sterjen xolati uzunligi), 

σ

 

(kesim yuzi), 

f

 (chuzuvchi kuch), e-Yung modeli orkali aniklanadi.  

Agar  tashkaridan  birorta  ta`sir  bo`lmasa,  sistemaning  istalgan  nuktalarida 

parametrlar  o`zgarishsiz  koladi.  Bunday  sistema  –  muvozanatli  sistema  deyiladi. 

Agar  sistemada  muvozanatlik  ta`minlanmagan  bo`lsa,  unda  makroskopik 

parametrlar  gradienti  mavjud  bo`ladi.  Bosim,  zichlik  xarorat  maydon  potentsiali, 

……  -bunday  xolni  muvozanatsiz  xolat  deyiladi.  Muvozanatsiz  termodinamik 

xolatdan muvozanatli termodinamik xolatga o`tish jarayonini relaksatsiya jarayoni 

deyiladi. Shu jarayon sodir bo`lish vaktini - relaksatsiya vakti deyiladi. Muvozanat 

xolatga  kaytish  jarayonidagi  relaksatsiya  vakti,  maksimal  vakti,  o`rtacha  vakti, 

to`lik vakti – xar bir parametr uchun xarakterli bo`lib termodinamika chegarasida 

aniklash  imkoni  bo`lmaydi,  chunki  jarayonida  molekula  va  atomlar,  elektronlar 

tomonidan-energiya, massa, impul`s, magnit momenti, nurlanish energiyasi singari 

parametrlar  ko`chishi  sodir  bo`ladi.  Shu  sababli  relaksatsiya  vakti  masalasi  bilan 

fizikaviy  kinetika  va  boshka  bo`limlar  shuxullanadi.  Termodinamikadan 

relaksatsiya  tezligiga  nisbatan  kamrok  tezlikda  kechadigan  jarayonlar  o`rganiladi. 

Unda  parametrlar  o`zgarishi  bir-biridan  juda  fark  kiladi,  muvozanat  xolatga  juda 

yakin  bo`ladi.  Bunday  etarlicha  sekin  jarayonlarni  muvozanatli  yoki 

kvazistatsionar deb ataladi. Shu narsa anikki, barcha real jarayonlar muvozanatsiz 

bo`lib,  fakatgina  kay  vaktlardadir,  kam  yoki  ko`prok  darajada  muvozanatli 

vaziyatga yakinlashadi. Shunisi anikki, muvozanatli jarayonda barcha parametrlar 

gradienti  nolga  teng  bo`ladi.  Bundan  ma`lumki,  simmetriya  kuchlari  bir-biriga 

teskari  yo`nalgan  bo`lib  yixindisi  nolga  teng,  to`xri  va  teskari  yo`nalishga 

sarflangan  vakt  orkali  aniklanadi.  Muvozanatli  termodinamik  jarayonda  to`xri  va 

teskari  yo`nalishda  vaktni  e`tiborga  olgan  xolda  xuddi  shu  xolatlarni  takrorlansa, 

bunday muvozanatli jarayon –kaytarimli deb ataladi. 

 

1.14. MUVOZANATLI KLASSIK VA KVANT SISTeMA 

STATISTIKASI 

 

1. Statistik yixindi 

Muvozanatli statistik mexanikada statistik yixindi ma`lum bir ansambl orkali 

xisoblanadi.  Termodinamik  sistemaning  xossalarini  belgilovchi  statistik  summa 

eng  ko`p  tarkalgan  ikki  usul  kanonik  va  katta  kanonik  usul  orkali  aniklanadi. 

Kanonik  ansamblda  N  ta  zarradan  tashkil  topgan  kvant  sistema  uchun  statistik 

yixindi Q

N

 kuyidagicha bo`ladi: 

 

(

)

n

n

N

E

Q

Q

β

−

=

=

∑

exp

   

 

 

 (1.14.1) 

 

Bunda 

β

=1/KT-Gibbs taksimoti parametri, e

n

 -sistema kvant xolatlar energiyasi , n 

kvant xolatlar uchun N ta bir xil zarralar uchun klassik sistema statistik yixindi 

 

( )

( )

(

)

∫

−

=

q

P

H

dГГехP

N

Q

N

N

,

!

2

1

3

β

π

h

  

 

(1.14.2) 

 

Bunda 

N 

(R,q) 

fazoviy 

fazo 

uchun 

Gamil`ton 

funktsiyasi  

( )

N

3

2

1

h

π

Geyzenberg  anikligi  bo`lib.  Fazoviy  fazoning  elementar  xajmida 

joylashgan  zarralar  uchun  o`rinlidir.  1/N!  Kvant  ayni  zarralar  uchun  ko`paytma 

statistik yixindi bilan F erkin energiya orasida boxlanish kanonik ansambl uchun  

 

F=-kT ln Q

  

 

 

 

 

(1.14.3) 

 

Katta kanonik ansambl uchun statistik summa L 

 

(

)

[

]

∑∑

∞

=

−

=

0

exp

N

n

eN

E

N

Z

µ

β

  

 

 

(1.14.4) 

 

Bunda 

µ

 - kimyoviy potentsial, e

eN

 sistema energiya termodinamik potentsial bilan 

statistik yixindi orasidagi boxlanish  

 

Ω

 = -kT lnL

 , 

 

 

 

(1.14.5)  

 

bilan aniklanadi. 

Statistik  yixindi  turli  ansambllar  uchun  Laplas-Mellin  almashtirishi  orkali 

aniklanadi.  Masalan:  xolat  zichligi  mikrokanonik  ansambl  statistik  yixindisi 

xisoblanadi va statistik yixindi Q

N

 , bilan kuyidagicha boxlanishga ega: 

 

( ) (

)

∫

∞

−

=

0

exp

dE

E

E

Q

β

ρ

 

 

 

 

(1.14.6) 

u xolda 

 

( )

( ) ( )

β

β

β

π

ρ

σ

σ

d

E

Q

i

E

i

i

∫

∞

+

∞

−

=

exp

2

1

 

 

 

(1.14.7) 

 

Kanonik ansambl uchun (1.14.4) ni 

(

)

N

N

Q

N

L

∑

=

∞

=

0

exp

βµ

 ko`rinishda yozamiz 

(1.14.7)  formula  Laplasning  diskret  almashtirilishi  deb  atalishi  mumkin.  Test 

masalalari  echishda  o`rtacha  kiymat  xarakteristikasidan  emas  balki,  statistik 

summa kiymatidan ya`ni mikroskopik analogidan foydalanish maksadga muvofik. 

Termodinamik makroskopik sistemada statistik summani ichki energiya uchun  

 

E

nQ

E

U

V

=













∂

∂

−

>=

=<

l

β

  

 

 

 

(1.14.8) 

 

Katta kanonik ansamblda zarralar uchun o`rtacha soni < N >  

 

β

µ

β

,

1

V

nZ

N













∂

∂

>=

<

l

  

 

 

 

(1.14.9) 

 

2.Taksimot funktsiyasi  

Kanonik  ansamblda  kvant  taksimot  funktsiyasi  (zichlik  operatori) 









−

=

KT

H

a

exp

1

€

ρ

  (1.14.8)  bilan  aniklanadi.  H€   sistema  Gamil`ton  operatori  ,Q-

uning statistik yixindisi 

 

(

)

KT

H

Sp

Q

−

=

exp

.  

 

 

 

(1.14.10) 

 

Fizikaviy kattaliklar o`rtacha kiymati  

 

( )

(

)

1

€

€

€

€

€

=

>=

<

ρ

ρ

Sp

A

Sp

A

A

(1.14.10) bo`ladi. 

Masalan,  energetik  xolatlar  uchun  taksimot  funktsiyasi  va  o`rtacha  kiymatni 

aniklash formulalari:  

 

;

exp

1









−

=

KT

E

Q

n

n

ω

   

 

 

 

(1.14.11) 

 

( )

∑









−

>=

<

KT

E

E

A

Q

A

n

n

exp

1

€

.   

 

(1.14.12) 

 

Bunda  A(e

n

)-; 

A

€

  operatorining  diagonal  matritsasi  (1.14.11)  va  (1.14.12) 

formulalar klassik o`xshashligi kuyidagicha  

 

( )

;

exp

1









−

=

KT

E

Q

E

ω

    

 

 

(1.14.13) 

 

( ) ( ) ( )

∫

>=

<

E

A

E

E

dE

A

ω

ρ

 

 

 

 

(1.14.14) 

 

ρ

 (E) - energetik xolat zichligi. 

Klassik  sistemalarda  taksimot  funktsiyasi  umumlashgan  impul`slar  va 

koordinata uchun Gamel`ton funktsiyasi orkali ifodalanadi.  

( )

∑

+

=

=

N

i

i

r

U

m

P

r

H

1

2

)

(

2

,

ρ

   

 

 

(1.14.15) 

potentsial energiya U(ch) fakatgina zarralar koordinatlari orkali aniklanadi.  

( ) ( ) ( )

( )

∏

=

=

N

i

i

N

t

r

n

r

1

3

2

,

ρ

π

ρ

ρ

h

    

 

(1.14.16) 

Bunda koordinatalar bo`yicha taksimot funktsiyasi  

 

( )

( )

[

]

KT

r

U

Z

r

n

−

=

exp

1

   

 

 

(1.14.17) 

Z- konfiguratsion integral  

 

( )

∫









−

=

KT

r

U

dr

N

Z

exp

!

1

 

 

 

 

 (1.14.18) 

Bir kiymatli funktsiya uchun impul`slar bo`yicha taksimot 

 

( )

(

)













−

⋅

⋅

=

mKT

P

mKT

f

2

exp

2

2

2

/

3

π

ρ

   (1.14.18)      f(

ρ

) funktsiya 

uchta funktsiyadan tashkil topganligini xisobga olib : 

 

( )

( )

( )

( )

( )

(

)













−

=

=

mKT

P

mKT

P

f

P

f

P

f

P

f

f

x

x

z

y

x

2

exp

2

1

;

2

2

/

1

π

ρ

 

 

Keltirilgan 

funktsiyalar 

orkali 

fizikaviy 

kattaliklarning 

fakatgina 

umumlashgan  koordinatalar  va  impul`slarga  boxlik  bo`lgan  o`rtacha  kiymatlari 

= 

∫ 

d r n (r) A (r) (1.14.10) va = 

∫ 

dpf(p)B(p) (1.14.11) formulalar orkali 

aniklanadi. 

Sistemadagi  zarralarning  tashki  maydon  bilan  o`zaro  boxlanish  energiyasi 

( )

( )

∑

=

=

N

i

r

U

r

U

1

  (1.14.12)  ga  teng.  n(r)  funktsiya  impul`slar  bo`yicha  taksimot 

funktsiyasiga 

o`xshashdir. 

Ayrim 

zarralar 

uchun 

taksimot 

funktsiyasi  

( )

( )

i

N

i

r

n

r

n

∏

=

=

1

 (1.14.13)  

Normallash sharti 

( )

∫

=

1

r

drn

 (1.14.14) bo`ladi. 

Termodinamik 

kattaliklar 

o`rtacha 

kiymatini 

aniklashda 

taksimot 

funktsiyalaridan  foydalanishni  test  masalalari  tuzish  va  echish  misolida  ko`rib 

o`taylik: 

Test masalalarini echish namunalari: 

Masala.  Kanonik  ansamblda  statistik  summadan  foydalanib,  bir  atomli  ideal 

gaz uchun xolat ichki energiyasini va issiklik siximi tenglamalarini aniklang. 

A). Bir atomli N zarrali ideal gaz uchun Gamil`ton funktsiyasini belgilang.  

 

( )

∑

=

=

N

i

i

m

P

p

q

H

A

1

2

2

,

.

    

 

( )

m

P

p

q

H

Б

i

2

,

.

2

=

  

 

m

P

H

В

2

.

=

 

 

m

P

H

Г

i

2

.

=

 

 

 

m

P

H

Д

3

.

=

 

 

B). Sirt erkin energiyasini aniklang 

 













+

+

−

=

B

KT

N

V

n

KTN

F

А

2

3

.

l

   

 

KTN

F

Б

−

=

.

 

 

N

V

n

KTN

F

В

l

−

=

.

 

 

 

KT

KTN

F

Г

2

3

.

−

=

 

 

nT

KTN

F

Д

l

2

3

.

−

=

 

V). Issiklik siximini belgilang. 

R

C

C

A

P

V

−

=

.

  

 

KN

C

Б

V

2

3

.

=

   

 













∂

∂

=

T

S

T

C

В

V

.

 

 

KN

C

Г

V

3

2

.

=

   

 

 

 

KN

C

Д

V

=

.

 

D). Bosimni aniklang. 

V

V

F

P

A









∂

∂

−

=

.

  

NKT

P

Б

=

.

  

 

V

KTN

P

В

=

.

 

 

V

KTN

P

Г

1

.

=

   

 

N

V

KTN

P

Д

/

1

.

=