Tеskari matritsa. Matritsaning rangi teskari matritsa

§3. TЕSKARI MATRITSA. MATRITSANING RANGI

• 
  Teskari matritsa .
  
• 
  Matritsaning rangi.
  

3.1. Teskari matritsa.Biz matritsalar ustida qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish amallarini ko‘rib o‘tgan edik. Matritsalar son tushunchasini umumlashtirishdan hosil qilinganligi haqida ham aytilgan edi. Sonlar uchun qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish amallaridan tashqari bo‘lish amali ham mavjud. Bunda ikkita bva a (a≠0) sonlar bo‘linmasini quyidagi ko‘rinishda ifodalash mumkin:
.
Bundan ko‘rinadiki, bo‘lish amalini a≠0 songa teskari bo‘lgan a^–1 son yordamida ko‘paytirish amali orqali ifodalash mumkin.Bunda ixtiyoriy a≠0 va unga teskari a^–1 sonlar orasida aa^–1=a^–1a=1 munosabat o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglik faqat o‘zaro teskari sonlar uchun o‘rinlidir va shu sababli teskari sonni ta’rifi sifatida qabul qilinishi mumkin.Shu sababli bu tenglikdan berilgan A matritsaga teskari matritsa tushunchasini kiritish uchun foydalaniladi.
1-TA’RIF: Berilgan n- tartibli A kvadrat matritsaga teskari matritsa dеb AB=BА=Е (Е–n- tartibli birlik matritsa) shartni qanoatlantiruvchi n-tartibli B kvadrat matritsaga aytiladi.
Berilgan A matritsaga teskari matritsa A^–1 kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan, ular uchunAA^–1= A^–1A=E munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Ma’lumki, ixtiyoriy a≠0 soni uchun a^–1 teskari son mavjud va yagonadir. a=0 sonining esa teskarisi mavjud emas. Shu sababli matritsalar uchun quyidagi savollar paydo bo‘ladi:
1.Qanday matritsalar uchun ularning teskarisi mavjud?
2. Teskari matritsa yagonami va uni qanday topish mumkin?
3. Qanday matritsalarning teskarisi mavjud emas?
2-TA’RIF: Agar A matritsaning determinanti |A|=0 bo‘lsa u maxsus matritsa , aks holda, ya’ni |A|≠0 bo‘lsa maxsusmas matritsa deb ataladi.
Masalan,

matritsalardan A maxsus (chunki |A|=0), B esa maxsusmas (chunki |B|=19≠0) matritsa bo‘ladi.
1-TEOREMA: Maxsus A matritsa uchun teskari A^–1 matritsa mavjud emas.
Isbot: Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni teskari A^–1 matritsa mavjud deymiz. Ta’rifga asosan AA^–1=A^–1A=E va, teorema sharti bo‘yicha, |A|=0 tengliklar o‘rinlidir. Bu holda, determinantning oldin ko‘rib o‘tilgan 13-xossasiga asosan,
|E|=| A^–1A|=|A A^–1|=|A||A^–1|=0·|A^–1|=0
natijani olamiz. Ammo E birlik matritsaning determinanti |E|=1 bo‘ladi. Hosil bo‘lgan bu ziddiyat bizning farazimiz noto‘g‘ri ekanligini ko‘rsatadi va maxsus matritsa uchun uning teskarisi mavjud emasligini ifodalaydi.
Berilgan n- tartibli

kvadrat matritsa determinantinigA_ij algebraik to‘ldiruvchilaridan tuzilgan ushbu

matritsani kiritamiz.
3-TA’RIF: berilgan A matritsaga birkitilgan matritsa deb ataladi.
Masalan,
(1)
matritsa determinantining algebraik to‘ldiruvchilari
A₁₁=5, A₁₂= –12, A₁₃= –20, A₂₁=3, A₂₂= –2, A₂₃= –12,
A₃₁=4, A₃₂=6, A₃₃=10
bo‘lgani uchun unga birkitilgan matritsa quyidagicha bo‘ladi:
. (2)
2-TEOREMA: Agar A maxsusmas matritsa bo‘lsa unga teskari A^–1 matritsa mavjud va u
(3)
formula bilan topiladi.
Isbot: Dastlab

ko‘paytmani topamiz. Determinantlarning 10 va 12-xossalariga asosan

tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bundan, matritsalar ko‘paytmasining ta’rifiga asosan,

tenglikni hosil etamiz. Unda, matritsalarni songa ko‘paytirish amalining ta’rifi va xossalariga asosan,

natijaga kelamiz. Shu tarzda

tenglik ham o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish mumkin. Bu yerdan, teskari matritsa ta’rifiga asosan, (3) tenglik o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Misol sifatida yuqorida ko‘rilgan (1) matritsa uchun |A|=26≠0 ekanligidan va unga birkitilgan (2) matritsadan foydalanib, A^–1 teskari matritsani topamiz:
.
3-TEOREMA: Maxsusmas A matritsa uchun A^–1 teskari matritsa yagona ravishda aniqlanadi.
Isbot: Teskarisini faraz qilamiz. C va B matritsalar A matritsaga teskari va C ≠ B bo‘lsin. Unda, teskari matritsa ta’rifiga asosan,
AC=CA=E , AB=BA=E
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklar va birlik matritsa xossasidan foydalanib, quyidagi natijalarni olamiz:
C=CE=CAB, B=BE=EB=CAB.
Bu ikkala tenglikning o‘ng tomonlarini taqqoslab, C=B natijaga kelamiz. Hosil bo‘lgan bu ziddiyat farazimiz noto‘g‘ri ekanligini ko‘rsatadi va teskari matritsa yagona bo‘ladi.
Shunday qilib, A maxsusmas matritsa uchun A^–1 teskari matritsa mavjud va u yagonadir.
Teskari matritsa tushunchasidan foydalanib bir xil tartibli A va B kvadrat matritsalarning bo‘linmasini A^–1B (|A|≠0) ko‘rinishda kiritish mumkin. Shuningdek A^–1 teskari matritsani m marta o‘zaro ko‘paytirib, hosil bo‘lgan matritsani A maxsusmas matritsaning –m- darajasi deb olishimiz va A^–m (m-ixtiyoriy natural son) kabi belgilashimiz mumkin. BundanA^k daraja (A-maxsusmas matritsa) ixtiyoriy k butun son uchun (§1 ga qarang) aniqlangan bo‘ladi.
Teskari matritsalar quyidagi xossalarga ega: