Tеskari matritsa. Matritsaning rangi teskari matritsa

1-xossa.E^–1= E.
Isbot: Bu xossa (3) teskari matritsani topish formulasidan bevosita kelib chiqadi.
2-xossa. (A^–1)^–1= A.
Isbot: Bu xossa bevosita teskari matritsaning ta’rifidan, ya’ni AA^–1= A^–1A=E tenglikdan kelib chiqadi.
3-xossa. (AB)^–1= B^–1 A^–1 .
Isbot: Teskari matritsa ta’rifi va matritsalar ko‘paytmasining assosiativlik xossasiga asosan quyidagi tengliklarni olamiz:
(AB)( B^–1 A^–1)= A(BB^–1) A^–1= AEA^–1= A A^–1=E ,
(B^–1 A^–1)( AB)= B^–1( A^–1 A)B= B^–1EB=B^–1B=E.
Bu tengliklardan AB va B^–1 A^–1 o‘zaro teskari matritsalar ekanligi ko‘rinadi.
4-xossa. (A^–1)^T=(A^T)^–1 .
Isbot: Matritsalarni transponirlash amalining (AB)^T=B^TA^T va E^T=E xossalaridan foydalanib ushbu tengliklarga ega bo‘lamiz:
A^T (A ^–1)^T=( A ^–1A)^T=E^T=E, (A ^–1)^T A^T =(A A ^–1)^T=E^T=E.
Bu tengliklardan, teskari matritsa ta’rifiga asosan, (A^–1)^T=(A^T)^–1 ekanligi kelib chiqadi.
5-xossa. | A^–1|=1/| A|=| A|^–1 .
Isbot: Matritsalar ko‘paytmasining determinanti uchun |AB|= |A||B| formula va |E|=1 tenglik hamda teskari son ta’rifidan foydalanib, ushbu natijaga kelamiz:
.
3.2. Matritsaning rangi. Endi kelgusida kerak bo‘ladigan matritsa rangi tushunchasini kiritamiz. Dastlab oldin kvadrat matritsalar uchun aniqlangan minor tushunchasini ixtiyoriy to‘rtburchakli matritsa uchun umumlashtiramiz.
4-TA’RIF: Har qanday A_m×n matritsaning ixtiyoriy ravishda tanlangan k ta (k≤min(m,n)) satr va ustunlarining kesishmasida joylashgan elementlaridan tuzilgan k-tartibli determinant bu matritsaning k-tartibli minori deyiladi.
Masalan,

matritsaning har bir elementi uning I tartibli ,

kabi determinantlar II tartibli,

determinantlar esa berilgan matritsaning III tartibli minorlariga misol bo‘ladi.
5-TA’RIF: Berilgan Amatritsaning rangi deb uning noldan farqli minorining eng katta tartibiga aytiladi.
Matritsaning rangi r(A) kabi belgilanadi va uni quyidagicha topish mumkin. Agar matritsaning barcha elementlari nolga teng, ya’ni u nol matritsa bo‘lsa, uning rangi r(A)=0 bo‘ladi. Matritsaning noldan farqli elementi mavjud bo‘lsa, uning rangi r(A)≥1 bo‘ladi. Bu noldan farqli elementni o‘z ichiga olgan barcha II tartibli minorlarni hisoblaymiz. Agar barcha II tartibli minorlar nolga teng bo‘lsa, unda r(A)=1 bo‘ladi. Aks holda r(A) ≥2 bo‘ladi va noldan farqli biror II tartibli minorni o‘z ichiga olgan barcha III tartibli minorlarni qaraymiz. Ularning hammasi nolga teng bo‘lsa r(A)=2, aks holda r(A) ≥2 bo‘ladi. Bu jarayonni shunday tarzda davom ettiramiz. Natijada, biror qadamda noldan farqli k-tartibli minorni o‘z ichiga oluvchi barcha (k+1)-tartibli minorlar nolga teng bo‘lgan holga kelamiz va bundan matritsaning rangi r(A)=k ekanligini topamiz.
Masalan,

matritsaning rangini aniqlaymiz. Bu matritsaning noldan farqli elementi mavjud va shu sababli r(A) ≥1. Endi noldan farqli ixtiyoriy bir, masalan a₁₁= –2 elementni, o‘z ichiga olgan va noldan farqli bo‘lgan II tartibli minor mavjud yoki yo‘qligini aniqlaymiz:
.
Demak, r(A) ≥2 bo‘ladi. Bu noldan farqli II tartibli minorni o‘z ichiga olgan ikkita III tartibli minorlarni qaraymiz:

Bu yerdan ko‘rilayotgan matritsaning rangi r(A)=2 ekanligi kelib chiqadi.
Shuni ta’kidlab o‘tish lozimki, n-tartibli maxsusmas A matritsaning rangi r(A)=n bo‘ladi.
6-TA’RIF: Agar A matritsaning rangi r(A)=k bo‘lsa, uning noldan farqli ixtiyoriy bir k-tartibli minori bazis minor deb ataladi.
Masalan, yuqoridagi rangi r(A)=2 bo‘lgan A_4×3 matritsa uchun bazis minor sifatida ushbu II tartibli minorni olish mumkin:
.


XULOSA
Matritsalar algebrasida teskari matritsa tushunchasi teskari songa o‘xshash ko‘rinishda aniqlanadi. Bunda faqat determinanti noldan farqli bo‘lgan matritsalar uchun teskari matritsa mavjud bo‘ladi va yagona ravishda aniqlanadi. Teskari matritsani topish algoritmida algebraik to‘ldiruvchilarni hisoblash va transponirlash amalidan foydalaniladi. Matritsalarning tatbiqlarida uning rangi va bazis minorlari tushunchalari muhim ahamiyatga egadir.


Tayanch iboralar

Teskari matritsa * Maxsus matritsa * Maxsusmas matritsa * Birkitilgan matritsa * Matritsaning k-tartibli minori * Matritsa rangi * Bazis minor.

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Teskari matritsa qanday ta’riflanadi?
   
2. 
   Qachon matritsa maxsus deb ataladi?
   
3. 
   Qanday matritsa maxsusmas deyiladi?
   
4. 
   Qaysi shartda teskari matritsa mavjud bo‘ladi?
   
5. 
   Teskari matritsa yagonami ?
   
6. 
   Birkitilgan matritsa deb nimaga aytiladi?
   
7. 
   Teskari matritsa qanday topiladi?
   
8. 
   Teskari matritsa qanday xossalarga ega?
   
9. 
   Matritsaning k-tartibli minori qanday ta’riflanadi?
   
10. 
    Matritsaning rangi deb nimaga aytiladi?
    
11. 
    Matritsaning rangi qanday topiladi?
    
12. 
    Bazis minor nima?
    

Testlardan namunalar

1. 
   A va unga teskari A^-1 matritsalar ko‘paytmasi uchun qaysi tasdiq o‘rinli?
   

A) AA^-1 faqat nollardan iborat matritsa bo‘ladi;
B)AA^-1 faqat birlardan iborat matritsa bo‘ladi;
C) AA^-1 diagonal elementlari 0, qolgan barcha elementlari 1 bo‘lgan
matritsa bo‘ladi.
D)AA^-1 diagonal elementlari 1, qolgan barcha elementlari 0 bo‘lgan
matritsa bo‘ladi.
E) AA^-1 ixtiyoriy kvadrat matritsa bo‘ladi.

2. 
   Qaysi shartda A matritsa maxsus deyiladi ?
   

A) |A|<0 ; B) |A|>0 ; C) |A|≠0 ; D) |A|=0 ; E) |A|≤0 ;

3. 
   Qaysi shartda A matritsa maxsusmas deyiladi ?
   

A) |A|<0 ; B) |A|>0 ; C) |A|≠0 ; D) |A|=0 ; E) |A|≤0 ;

4. 
   Quyidagi matritsalardan qaysi biri maxsusmas?
   

5. 
   Quyidagi matritsalardan qaysi biri maxsus?
   

6.