The Failures of Mathematical Anti-Evolutionism

Theorem (Euler 1736) A connected graph G is Eulerian if and only if
the degree of each vertex of G is even.
Since this is an especially famous theorem, credit is given to its
discoverer at the start of the theorem statement. The phrase “if and
only if” indicates that this is really two theorems in one: If a graph
is Eulerian then every vertex has even degree, and if every vertex has
even degree then the graph is Eulerian.
The first part seems simple enough, based on our earlier obser-
vation that a vertex that appears k times in an Eulerian cycle must
have degree 2k. The other direction is surprisingly difficult, however,
and the next step would be to write down a logically cogent proof
showing it to be true. That level of detail is beyond anything we
need here.
We seem to have completely solved the Eulerian cycle problem:
A graph has an Eulerian cycle precisely when every vertex has even

---

70 3 parallel tracks
degree. That is hardly the end of the story, however. A mathematician
would now instinctively ask other questions. For example, what if
we want to use every vertex instead of every edge? Can we walk
around the graph using every vertex exactly once, starting and ending
at the same vertex? This is called a Hamiltonian cycle, after the
mathematician who first studied this question, and it turns out to be
a much harder problem than the corresponding question for Eulerian
cycles. There is nothing like our previous theorem in the case of
Hamiltonian cycles. In other words, there is no easily observable
property of a graph that tells you definitively whether or not a graph
has a Hamiltonian cycle. Can we, then, prove theorems showing at
least that certain specific kinds of graphs have Hamiltonian cycles?
What if we ask the same questions for directed graphs, in which the
edges have arrows on them indicating we can only traverse them in
one direction? What if we have a weighted graph, meaning that there
is a cost associated with crossing each edge? In such a situation, can
we devise an algorithm that will allow us to walk around the graph at
minimal cost?
Notice that we have left reality behind at this point. We are
just asking questions about graphs and trying to answer them as best
we can. This is what I mean when I refer to studying mathematical
models for their own sake, separate from any real-world concerns. We
take it for granted that graphs are worth studying since they model so
many real-world phenomena, and therefore anything we learn about
them will be at least potentially useful.
Let us go one more round to see how the two tracks play out
with the notion of “continuous function.” Again, let me emphasize
that I am including the technical details simply to make a point.
You can skim over them without losing the thread of our subsequent
discussions.
Informally, the idea of “continuity” was that a projectile does
not teleport from over here to over there. Instead it moves in a smooth,
graceful arc. Sticking with track one, a continuous function is one
whose graph can be drawn without lifting your pencil from the paper.

---

3.2 you need both rigor and intuition 71
These are useful ways to picture what continuity means, but they
again suffer from a lack of precision. If this is all we know about
continuity, then what will we do when confronted with a function
whose graph is too complex to draw? How can we come to understand
continuous functions in general if we need a picture of each function
individually just to know whether or not it is continuous?
We need a track two version of continuity, but in this case it is
difficult to see how to devise a precise definition. We want to capture
the idea that a continuous function has no breaks or jumps. If we
imagine a small bug crawling along a curve, he should not encounter a
point where he suddenly has to fall off a cliff, or jump a great height, to
continue on his way. Roughly, we can say that a continuous function
is one where the behavior of the function near a point matches the
way the function behaves at the point. This is shown in Figure 3.5.
Formulating a proper definition of continuity therefore requires
making a distinction between behavior at a point from behavior near
a point. This distinction is captured by the notion of the “limit” of
a function at a point. With a bit more work, we eventually arrive at
something like this: