The Failures of Mathematical Anti-Evolutionism

Pregel River
A
B
C
D
figure 3.1 In the eighteenth century, the Prussian city of Königsberg
was divided into four land masses, labeled A–D, by the Pregel River. The
masses were connected by seven bridges, as shown.
land masses were connected by seven bridges, as shown schematically
in Figure 3.1. The locals wondered whether it was possible to walk
through the city in such a way that each bridge was crossed exactly
once.
This problem came to the attention of Leonhard Euler
(pronounced OY-ler), who was a mathematician of some prominence
at that time. He devised an abstract model in which each land mass
was represented by a dot, with the bridges represented by (possibly
curved) lines connecting the dots. This is shown in Figure 3.2.
An arrangement of dots and lines of this sort is today referred
to as a “graph.” It is customary to refer to the dots as “vertices” and
the lines as “edges.” Since this particular graph allows multiple edges
between the same pair of vertices, it is commonly referred to as a
“multigraph.” The number of edges coming out of a given vertex is
commonly called the “degree” of that vertex.
Euler noticed that every vertex in his figure had an odd degree.
Specifically, vertex A has degree 5, while vertices B, C, and D each

---

3.1 math is simple, reality is complex 61
A
B
C
D
figure 3.2 An abstract model
for the arrangement of land
masses and bridges in
Königsberg.
have degree 3. Imagine that you are walking along the graph. Each
time you first enter, and then leave, a vertex, you use up two available
edges. Now suppose there really was a walk that traversed each bridge
exactly once. Then, if we visit a vertex exactly k times during the
walk, then its degree must be 2k, which is an even number. The only
exceptions to this are the starting and ending vertices, which might
have an odd degree. In other words, our walk will only be possible in a
graph in which no more than two vertices have odd degree. Since that
is not the case here, we see that the locals will search in vain for the
desired walk. A walk through a graph in which every edge is traversed
exactly once is today called an “Eulerian walk,” in Euler’s honor.
This is what modeling looks like when it is successful. We
devised an abstract model for a practical problem, and by studying the
model we found a solution to the problem. The model stripped away
all the distracting, irrelevant detail – such as the layout of roads on the
land masses or the differing demographics among them – and allowed
the focus instead to be on the really important detail – the evenness
or oddness of the number of bridges on each mass. (Mathematicians
would call this the “parity” of the number of bridges.)
The story does not end here. Once you have the idea of mod-
eling something with a graph, you begin to see graphs everywhere.
Electrical engineers might see the vertices as representing circuit
connections and the edges as representing the wires that join them.
Physicists and chemists might see the vertices as representing atoms

---

62 3 parallel tracks
in a molecule and the edges as representing bonds between them. In
biology the vertices might represent proteins, with the edges repre-
senting interactions among them. Ecologists might see the vertices
as habitats and the edges as animal migration routes.
If a particular abstract model can be used to represent many
physical phenomena, a mathematician will argue that the abstraction
is worth studying for its own sake. From this observation, the modern
field of “graph theory” was born, and it remains an active area of
research today. We might hope that anything we discover about
graphs will simultaneously be useful to engineers studying circuits,
to physicists and chemists studying molecules, to biologists studying
protein interactions, and to ecologists studying animal migrations.
Graph theory has indeed contributed to all of those fields.
Let us try a more complex example. A standard problem in
physics is to predict the motion of a projectile. Perhaps we throw a
baseball, for example, and we want to predict how high it will go
and how long it will take to return to the ground. We know from
experience that the ball will trace out a graceful arc, with the result
looking something like Figure 3.3.