To’liq differensial tenglama. Integrallovchi ko’paytuvchi

7.1-ilova
Har bir mashg'ulot 0,5 balldan 2 ballgacha baholanadi. Ekspert guruxlarning ish natijalarini baholovchi me'zonlari

Me'zonlar	Ball	%	Gurux natijalari bahosi
			1	2	3	4
Axborotning to'liqligi	1,0	50
Masala yechimining boshqacha usuli, illyustratsiyasi(grafik tarzda taqdim etish, ayrim hisoblashlarni aniq ko'rsatish va h.k.)	0,6	30
Gurux faolligi (qo'shimcha, berilgan savol, javoblarning soni)	0,4	20
JAMI	2	100

86-100% / a'lo"
71-85% / - "yaxshi"
55-70% / - "qoniqarli"
0-54%-- "qoniqarsiz".


7.2.-ilova

"To’liq differensial tenglama. Integrallovchi ko’paytuvchi" mavzusi bo‘yicha tarqatma material

Hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli

differensial tenglamani
(1)
Ko’rinishga keltirish mumkin. (1) tenglamada _{ } va _{ } o’zgaruvchilar teng kuchli ravishda qatnashadilar.
Ta’rif. Agar (1) tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning to’liq differensialiga teng bo’lsa, u holda (1) tenglamaga to’liq differensialli tenglama deyiladi.
Ya’ni
(2)
(2) dan (3)
ga ega bo’lamiz.
Agar (1) tenglamaning biror yechimini (2) ga keltirib qo’ysak
ga ega bo’lamiz.
Bundan . Bu esa, to’liq differensial tenglamaning umumiy integralidir.
Faraz etaylik funksiyalari, mos ravishda _{ }va _{ } ga nisbatan uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lsin.

bundan (4)
(4), (1) tenglamaning chap tomoni biror funksiyani to’liq differensiali bo’lishligini zaruriy shartidir.
Isbot etamizki bu yetarli shart hamdir. Haqiqatdan ham (4) tenglik bajarilganda shunday _{ } funksiyani topish mumkinkim, bu funksiya (3) tengliklarni qanoatlantiradi.
Faraz etaylik, _{ }(3) ning birinchisini qanoatlantirsin.

Agar bunda _{ } ni parametr deb olsak, uni

ko’rinishda yozish mumkin.
(5)
Buning har ikkala tomonini _{ }ga nisbatan differensiallaymiz.

(3) ni e’tiborga olsak, keyingi tenglikdan

ga ega bo’lamiz.
Bundan (6)
(6) va ga ko’ra , (5) dan
(7)
Bu ko’rsatadikim (4) bajarilganda (1) ni chap tomoni to’liq differensial tenglama bo’ladi. (7) to’liq differensialli tenglamaning umumiy integralini topish formulasi.
1-Misol. Ushbu tenglama integrallansin.

Yechish. Bu tenglamani quyidagicha yozamiz.

ravshanki tenglamaning chap tomoni funksiyaning to’liq differensiali. Shuning uchun tenglamani

ko’rinishda yozish mumkin, bundan

umumiy integralni topamiz, _{ }- ixtiyoriy o’zgarmas.
2-Misol. tenglamani yeching.
Yechish. Bu tenglamani quyidagicha yozib olamiz:

Tenglamaning ikkala tomonini bo’lib olsak, chap tomoni to’la differensial bo’ladi

yoki

Demak, tenglamaning umumiy integrali bo’ladi.
3-Misol. tenglamaning _{ } boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish. Tenglamani quyidagicha yozib olamiz:

Endi buning ikkala tomonini bo’lib olamiz

to’la differensial tenglama hosil bo’ldi.
Bundan: umumiy integralni yozib olamiz, bunda _{ }- ixtiyoriy o’zgarmas.
Endi x=1 da _{ }deb olsak,_{ } bo’ladi va izlanayotgan

xususiy yechim hosil bo’ladi.
4-Misol

_demak
Berilgan tenglama to’liq differensialli tenglamadir
1)
2) 3)
4) 5)
Integrallovchi ko’paytuvchi.
Faraz etaylik
(1)
tenglamaning chap tomoni biror funksiyaning to’liq differensialli bo’lmasin. (1) ning chap tomonini biror funksiyaga ko’paytirganda u to’liq differensialli tenglamaga aylansa, ga integrallovchi ko’paytuvchi deyiladi.
(2)
u holda (2) shartini qanoatlantiradi.