159
Январь 2021 10-қисм
Тошкент
KOSHI TENGSIZLIGI VA UNING BA’ZI TABDIQLARI
Saidova Osiyo – Farg’ona viloyati Qo’qon
shahridagi ayrim fanlar chuqur o’rganiladigan
5-VIDUMIning matematika fani o’qituvchisi
KOSHI TENGSIZLIGI VA UNING BA’ZI TABDIQLARI
Saidova Osiyo
Farg'ona viloyati Qo'qon
shahridagi ayrim fanlar chuqur o'rganiladigan
5-VIDUMIning matematika fani o'qituvchisi
Annotatsiya: Ushbu maqolada Koshi tengsizligi va uning isboti hamda tadbiqiga doir
misollar keltirilgan.
Kalit so’zlar: Tengsizlik,
Koshi tengsizligi, o’rta arifmetik va geometrik qiymati.
Matematika kursidagi tengsizliklar bo’limida o’rta Arifmetik qiymati hamda o’rta Geometrik
qiymatlar orasidagi bog’liqlik haqidagi tengsizlikni Koshi tengsizligi deb ham yuritiladi.
Teorema: Barcha musbat
sonlar
uchun
√
(1)
tengsizlik o’rinlidir. Bunda tenglik faqat va faqat
da bajariladi.
Isbot: bo’lganda isbotlaymiz: (
)
tengsizlik o’rinli va uning
ikkala
tomoniga
ni qo’shib, kvadrat ildiz olamiz va 2 ga bo’lsak,
√
ga ega bo’lamiz. Agar soni uchun (1) tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda uchun ham
o’rinli bo’lishi ravshan, chunki
√
√
√
.
Shunday qilib, tengsizlik barcha soni va 2–daraja ko’rsatgichga ega bo’lganda o’rinli.
Quyidagicha belgilash kiritamiz:
Inuksiyadan foydalanib,
√
( ) √
Bu yerdan agar tengizlik ta son uchun o’rinli bo’lsa, u holda
ta son uchun ham
o’rinli bo’ladi. Induksiya bilan tengsizlik har bir
n natural son uchun bajariladi.▲
1-misol. Uchburchakning tomonlari bo’lsa, quyidagini isbotlang:
( )
( )
( )
Yechish:
yuqoridagi teoremaga asosan,
√(
)
(
)
(
)
(
)
Bundan biz
( )
( )
( )
tengsizlikka ega bo’lamiz.▲
2-misol. Berilgan nomanfiy haqiqiy sonlar va bo’lsa,
ni isbotlang.
Yechish: Umumiylik uchun ( ) deb olamiz. Teoremani qo’llasak,
( )( ) ( )
(
)
(
)
( )
( )
. ▲
Foydalangan adabiyotlar ro’yhati:
1. Sh. Ismailov. TENGSIZLIKLAR-I. ISBOTLASHNING KLASSIK USULLARI. Toshkent,
2008.
2. Hojoo Lee. Topics in Inequalities-Theorems and Techniques. Seoul: 2004.
