Тошкент давлат техника университети

Х = A x + B u ; Y = CX, (3)
чекка шартлари Х(0) = Х₀ ; Y(0) = Y₀ ; Х() = Y() = 0; умумлашган оптималлик скаляр мезонини квадратик функционали берилган _
J = 1/2  (Y^ТQY + u^TRu) dt . (4)
⁰
Бир ўлчамли объект учун y(t) = x₁(t) ва u(t) - скаляр катталиклар, матрицаларга Q = q₁; R = r₁ қиймат бериб, (4) функционал ўрнига ёзамиз
_
J =  [ q₁ x² + r₁ u²(t)] dt , (5)
⁰
(5) функционалга минимал қийматини таъминлайдиган оптимал бошқариш u^о (Х) ни топиш талаб қилинади. (4) функционалга чиқиш Y урнига (3)дан унинг ифодасини Y = CX қўйсак, ҳосил қиламиз:
_
J = 1/2  (X^Т C^T Q C X + u^TRu) dt . (6)
⁰
(6) функционалдаги C^T Q C матрица яриманиқланган бўлиб, объект тўла кузатувчан бўлса, (6) функционал (2) функционалга ўхшаш бўлиб чиқишни барқарорлаш масаласи 3.5 даги объект режимини оптимал барқарорлаш масаласига айланади. Шу масалани ечиб, ҳолат координаталар X ва чиқиш ўзгарувчан Y векторларни оғиш кичиклигини таъминлайдиган оптимал бошқариш u^о (Х)ни топамиз.
3.7. Объектни ихтиёрий қонун билан оптимал бошқариш

Оптимал тақлидлаш масаласи қуйидагича таърифланади: опималлаш объекти (3) тенгламалари билан

_.
Х = A x + B u ; Y = CX, Х(0) = Х₀ ; Y(0) = Y₀ ; (7)
чиқиш вектори Y_З(t) ҳамда оптималликни умумлашган скаляр мезони
_
J = 1/2  ( Y ^ТQ Y + u^TRu) dt , (8)
⁰
берилган, шу ерда
Y(t) = Y_З(t) - Y(t). (9)
Талаб қилинади: (8) функционални минимал қийматга эриштирадиган, чиқиш Y(t) ва берилган Y_З(t) векторларини етарлича яқинлиги (устма-устлиги)ни таъминлайдиган оптимал бошқаришни топиш.
(7) ва (9) инобатга олиб, (8) функционални қуйдагича ёзамиз:
_
J = 1/2  [(Y_З - CX)^Т Q (Y_З - CX)^Т + u^TRu] dt . (10)
⁰
(10) функционал таркибида берилган жараён чиқиш вектори Y_З(t) бўлган сабабли, оптимал бошқаришнинг жорий қиймати берилган чиқишни келгуси қийматларига боғлиқ. Шундай оптимал бошқаришни, фақат берилган жараён Y_З(t) маълум бўлса, амалга ошириш мумкин. Масалан, Y_З(t) = const оптимал бошқариш релейли бўлади.
Баъзи махал Y_З(t) векторга шундай шартларни қўйиш мумкинки, объектни оптимал бошқариш масаласини (тақлидлаш масаласини) 3.6 даги объект чиқишини оптимал барқарорлаш масаласига келтириш мумкин.


8. Мисол. Объект иш режимини оптимал барқарорлашини таъминлайдиган оптимал бошкариш u^о (Х)ни аниқлаш масаласи. Объект тенгламаси
_{. . .}
T² y(t) + y(t) = Ku , (М8.1)

унга мос ҳолат тенгламалари:

_.
x₁ = x₂ ;
_.
x₂ = a₁ x₂ + b₀ u , (М8.2)

шу ерда a₁ = - 1/Т²; b₀ = К/Т².

Оптималликни умумлашган скаляр мезони функционалнинг кўриниши:
_
J =  [ q₁ x₁² + q₂ x₂² + r₁ u²] dt , (М8.3)
⁰
Чекланма шартлари берилган Х(0) = Х₀ ; Х() = 0. Бошқариш координатаси чекланмаган.
Оптимал системани синтезлаш учун динамик программалаш усулидан фойдаланамиз. Беллман тенгламаларини (2.4.9) ёзамиз:


q₁ x₁² + q₂ x₂² + r₁ u² + x₂  S/ x₁ + (a₁ x₂ +b₀ u)  S/ x₂ = 0;
2 r₁ u + b₀  S/ x₂ = 0 . (М8.4)

(4) ни иккинчи тенгламадан ҳосил қиламиз:

u = - b₀ /(2r₁)(  S/ x₂). (М8.5)

(2.4.10)га асосланиб, ёрдамчи функцияни танлаймиз:

S =  A_ij x_i x _j = A₁₁ x₁² + A₁₂ x₁ x₂ + A₂₂ x₂² . (М8.6)
^{i , j=1}
(6)ни x₁ ва x₂ бўйича дифференциаллаб, (4) ва (5)ларга қўйиб, Беллман тенгламаларини ҳосил қиламиз:


q₁ x₁² + q₂ x₂² + r₁ u² + x₂(2 A₁₁ x₁ + A₁₂ x₂) +
+ (a₁ x₂ + b₀ u)  (A₁₂ x₁ + 2 A₂₂ x₂ ) = 0;
u^о (Х) = u^о (x₁, x₂) = - b₀ /(2 r₁)( A₁₂ x₁ + 2 A₂₂ x₂). (М8.7)

(7) тенгламани қайта ишлаб, номаълум A₁₁, A₁₂ ва A₂₂ ларга нисбатан алгебраик тенгламаларни ҳосил қиламиз:

q₁ – [b₀ /(4 r₁)] A₁₂² = 0 ;

2 A₁₁ + a₁ A₁₂ - b₀² / r₁ A₁₂ A₂₂ = 0 ;
q₂ қ A₁₂ - b₀² / r₁ A₂₂² + 2 a₁ A₂₂ = 0, (М8.8)

ва номаълум A₁₂ ва A₂₂ коэффициентларни топамиз:

_
A₁₂ = 2/ b₀  q₁ r₁ ;
 _ 
A₂₂ = r₁ / b₀² (a₁ +  (a₁²+ b₀² q₂)/ r₁ + 2 b₀ q₁ r₁) ,
ва (7)ни иккинчи тенгламасига қўйиб, фазавий координаталарга чизиқли боғланган (2.8.21) турдаги оптимал бошқариш қонуни топамиз:
u^о (x₁, x₂) = - k_oc1 x₁ - k_oc2 x₂ = - k_oc1 y - k_oc2 y, (М8.9)
шу ерда
_
k_oc1 =  q₁ / r₁ ;
 _ 
k_oc2 = -1/k ±  1/k²+ q₂ / r₁ +(2T/ k²) q₁ / r₁ . (10)
(1) ва (9)га асосланиб, объект ҳолати барқарорлигини таъминлайдиган аниқлик бўйича оптимал структур схемасини тузамиз. Бу схемада дифференциатор ва кучайтиргичдан иборат ПД-ростлагич қўлланилади. Объектни Т = 1с , r₁ = 1c^-1 қийматларида моделлаш ва натижалар тахлилидан k_oc1 = 1, k_oc2 = 1 ва уларга мос q₁ = 1, q₂ = 1, r₁ = 1 эканлигини аниқлаймиз.
Шундай қилиб (1) тенглама билан ифодаланадиган объект параметрлари T² = 1c² ; K = 1c^-1, бўлганда, функционал
_{ .}
J =  [у² + у² + u²] dt ,
⁰
минимуми бўйича оптимал система ПД-ростлагичга эга бўлиб, ўтиш функцияси:
K(p) =- 1 – p,
бўлади.


IV. ЭКСТРЕМАЛ ВА ЎЗИ СОЗЛАНУВЧИ СИСТЕМАЛАР
4.1. Асосий тушунчалар
Экстремал системалар - оптимал системаларнинг асосий ва кенг тарқалган туридир. Объект экстремал статик тавсифига эга. Автоматик қурилма – оптималлаштиргич (оптимизатор) объектни турғун ҳолатда экстремал режимда ишлашини таъминлайди.
Экстремал системаларни қўлланилиш холлари қуйидагича: 1) шундай сифат кўрсатгич мавжудки, унинг ўзгариши билан объектни техник-иқтисодий самарадорлиги сезарли даражада ўзгарса; 2) экстремал бошқариш принципларни қўлланилишга кетган харажатларни олинган фойдаси ортиғи билан қопласа; 2) сифат функционал экстремумини аниқлаш ҳамда объект экстремал режимда ишлаши учун унинг бошқариш ускунларига таъсир қилиш имкониятлари бўлса.
Экстремал системалар назария ва амалиёти анча ютуқларга эришган. Ишлаб-чиқариш ва технологик жараёнларнинг техника-иқтисодий самарадорлигини оширадиган типик экстремал ростлагич - оптимизаторлар саноатда чиқарилмоқда.
Мисол сифатида газли ўчоғда ёниш жараёнини кўриб чиқамиз (расм 4.1а). Ёниш интенсивлиги газ g ва хаво U


Y


g

газ
воздух  u 0 u₀ u
а) б)
Расм 4.1.

сарфлар нисбийлигига боғлиқ. Ёниш интенсивлиги ўчоғни қизиш температураси  ни тавсифлайди. Маълум ёқилғи (газ) сарфи g да бошқарилаётган чиқиш ўзгарувчи (ўчоғ температураси ) Y нинг бошқарилаётган параметр (хавони сарфи) Uга боғлиғлиги (расм 4.1б) максимумиги эга U^o. Лекин эгри чизиқ Y(U) нинг максимуми газ таркиби, хаво температураси ва бошқаларга боғлиқ. Улар ўзгариши билан экстремал бошқаришни (хаво сарфини ўзгартириб) қўллаб ўчоғни максимал температурасини таъминлаш керак.