Toshkent davlat texnika universiteti «Metallarga bosim bilan ishlov berish» kafedrasi

x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a





















Tenglamalarni o’zgartirib bunday yozamiz: 

---

39 






;
0
;
0
;
0












z
z
y
zy
x
zx
z
yz
y
y
x
yx
z
xz
y
xy
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a












Olingan tenglamalar tuzilishi a ga nisbatan chiziqli va bir jinsli (ozod hadlari nolga teng) 
hisoblanadi. a
x
, a
u
va a
z
o’lchamlar bir vaqtda nolga teng bo’la olmagani sababli, tenglamalar 
nazariyasidan ma’lumki, bunday tizim aniqlovchisi nolga teng bo’lishi kerak, ya’ni






















z
xy
zx
yz
y
yx
xz
xy
x
0 (33) 
Aniqlovchini yoyib va o’zgartirishlar kiritib, 

ga nisbatan kub tenglama olamiz:


0
)
2
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
3
















xy
z
zx
y
yz
x
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yx
xy
x
z
z
y
y
x
z
у
х



























(33a) 
Bu tenglamani yechib uning uchta ildizini, ya’ni 

1
, 

2
, 

3
qiymatlarini olamiz, ular tenglama 
tabiatiga ko’ra doimo haqiqiy bo’ladi. 
Qo’shimcha, analitik geometriyadan ma’lum bo’lgan shart a
x
2
+a
u
2
+a
z
2
=1 ni yozib, yo’naltiruvchi 
kosinuslar qiymatini ham aniqlash mumkin. 
Bosh kuchlanishlar kattaligini aniqlash uchun (33) tenglamani keltirib chiqarishda koordinat 
o’qlari ixtiyoriy tanlab olingan edi. Bosh kuchlanishlar esa berilgan kuchlangan holatda yagona 
qiymatga ega bo’ladi. Bundan kelib chiqadiki, (33) kub tenglamaning koeffisientlari koordinat o’qlari 
qanday tanlab olinmasin, aynan bitta qiymatlarga ega bo’ladi. Ular koordinat o’qlari holati 
o’zgarganda o’z kattaligini o’zgartirmaydi. Boshqacha aytganda, bu koeffitsientlar koordinat 
o’zgarishlariga invariantdir. Bu koeffitsientlar kuchlanish tenzori tashkil etuvchilaridan tuzilgani saba-
bli, ular koordinat o’zgartirilganda uning invariantlari hisoblanadi. 
Кuchlanish tenzorini birinchi invarianti i
1 
- chiziqli: 
i
1 
= 

x
+ 

u
+ 

z
= const
(34) 
Ikkinchi invariant i
2 
- kvadratsimon: 
i
2 
= 

x

u
+ 

u

z
+ 

z

x
- 

xu
2
- 

uz
2
- 

zx
2
= const
(35) 
Uchinchi invariant i
3
- kubsimon: 
i
3 
= 

x

u

z
+ 2

xu

uz

zx
- 

x

uz
2
- 

y

zx
2
- 

z

xy
2
= const
(36) 
Uchinchi invariant kuchlanish tenzori tashkil etuvchilaridan tuzilgan, qatorga yoyilgan 
aniqlovchi hisoblanadi: 
xz
zy
zx
y z
y
y x
xz
xy
x
3
i










(32) 
Ikkinchi invariant bu aniqlovchini uni bosh diagonali bo’yicha yoyganda minorlari yig’indisi 
hisoblanadi. 
z
zy
y z
y
z
zx
xz
x
y
y x
xy
x
i















(35a) 
Кuchlanish tenzori invariantlari juda muhim ahamiyatga ega, chunki ular kuchlangan holatning 
mexanik qonuniyatlarini ifodalaydilar. 
Masalan, ikkita tenzor yozilgan bo’lsa, invariantlardan foydalanib, ular turli kuchlangan hola-
tlarni ifodalaydimi yoki bitta kuchlangan holatni o’zini turli koordinat tizimlaridagi ifodasi ekanini biz 
darhol aniqlay olamiz. 

---

40 
15-AMALIY MASHG’ULOT 
 
Mavzu: Hajmning doimiylik shartiga masalalar yechish. 
Amaliy ishni o’tishdan maqsad:
 
Talabalarga hajmning doimiylik shartiga masalalar yechishni o’rgatish. 
Amaliy ishni o’tish bo’yicha nazariy qism: 
Tezlikning deformatsiya jarayoniga ta’siri haqidagi masalani ko’rib chiqishda eng avvalo defor-
matsiya tezligi qanday qilib aniqlanishini belgilab olish kerak. Buning uchun oldin hajmning doimiylik 
sharti bilan va deformatsiya darajasi, siljigan hajm tushunchalari bilan tanishamiz. 
Metallning zichligi plastik deformatsiya natijasida nihoyatda kam o’zgargani uchun amaliy 
ahamiyatga ega emas, u holda kuchlanishlar va deformatsiyalar bilan bog’liq qator masalalarni 
yechishda, odatda quyidagi shart qabul qilinadi: plastik deformatsiyalanayotgan jism hajmi o’zgarmas 
bo’lib qoladi va shu bilan birga jismning plastik deformatsiyagacha bo’lgan hajmi, uning defor-
matsiyadan keyingi hajmiga teng. Bundan plastik deformatsiya davrining o’zida tashqi kuchlar bilan 
yuklashdagi jismning hajmi, yuklanish olingandan keyingi uning hajmiga tengligi kelib chiqmaydi. 
Bu shuning uchun bo’ladiki, jismni plastik deformatsiyasi doimo uning elastik deformatsiyasi bi-
lan birga kuzatiladi, uning kuchlanishlarga bog’liqligi Guk qonuni bilan aniqlanadi. Demak yuklanish-
ning oxirgi paytidagi jismning o’lchamlari, uning yuklanish olingandan keyingi o’lchamlaridan farq 
qiladi. Sinov mashinasida olingan cho’zilishning odatdagi diagrammasi berilgan bo’lsin (18-rasm). 
Ordinata o’qi bo’yicha kuch, absissa o’qi bo’yicha - deformatsiya qo’yilgan. 
18-rasm. Cho’zilish diagrammasi. 
Qandaydir paytda Oa kesma bilan aniqlanuvchi kuchda deformatsiya Os kesma bilan ifodala-
nadi. Agar A nuqtadan OV chiziqqa parallel chiziq o’tkazilsa, bu erda V nuqta proporsionallik che-
garasiga mos keladi, unda Os kesma absissa o’qida ikki qismga bo’linadi. vs qism elastik defor-
matsiyalardan iborat bo’ladi, Ov qism esa - plastik, ya’ni yuklanish paytida to’liq deformatsiya Os 
kesma bilan ifodalanadi, yuklanish olingandan keyin esa Ov kesma bilan aniqlanuvchi, qoldiq (plastik) 
deformatsiya o’rinli bo’ladi. Ravshanki, VOs va Avs  burchaklar tangensi (E) Yung modulini ifoda-
laydi. 
Bosim bilan issiq ishlashda katta plastik deformatsiyada elastik deformatsiya mavjudligini 
e’tiborga olmaslik mumkin. Aksincha, ba’zi hollarda, masalan, sovuq holda egishda elastik defor-
matsiya juda sezilib turadi. Amaliyotda bu hodisani prujinalanish deb ataydilar. Agar, masalan, polosa 
(uzunchoq kesim)ni sovuq holda qandaydir burchakka egilsa, egilishdan so’ng u dan bir oz katta 
burchakka egilgan bo’lib chiqadi. 
Texnologik jarayonlarni loyihalashda bu bilan hisoblashish zarur. «Sovuq holda» egishda masa-
lan, shtampdagi burchakni prujinalanish burchagini hisobga olib, talab qilingan egish burchagidan bir 
oz farqlanadigan qilishga to’g’ri keladi.