Toshkent davlat texnika universiteti «Metallarga bosim bilan ishlov berish» kafedrasi

И
И
И
Д
x
F
F
F
F
F
x
x
x
x
x









)
(
)
(


---

44 
Кoordinat o’qlarining 
y
va 
z
yo’nalishlari bo’yicha deformatsiya darajalari uchun ifodalarni 
shuncha o’xshash olish mumkin. 
Umumiy ko’rinishda bunday yozish mumkin: 
)
ln(
ИХ
ДХ
F
F



Д
F
F




(49) 
Siljigan hajmning keltirilgan (49) ifodasi 


Д
И
Z
Z
cZ
z
dz
V
V
ni keltirib chiqarishdan ma’lum bo’ladiki, 
agar jismning kesim yuzalari 
Z
F  kattaligi, faqat deformatsiyaga qadar ham, deformatsiyadan keyin 
ham, jismning hamma 
z
uzunligi bo’yicha doimiy bo’lib hisoblansa, masalan, silindr silindrga, paral-
lelopiped parallelopipedga va shunga o’xshash o’tish holidagina haqiqiy bo’ladi. 
Agar bu shartga rioya qilinmasa, masalan, silindr deformatsiyada kesik konusga aylanadi, 
z
V
F
Z

ifodani yozib bo’lmaydi, demak, 
)
ln(
И
Д
cZ
z
z
V
V

ifoda ham haqiqiy bo’lmaydi. 
Biroq, qator hollarda, o’rtacha siljigan hajmni topish mumkin, u bo’yicha o’rtacha deformatsiya 
darajasini ham A.N. Bryuxanov formulasi yordamida topish mumkin. 
Dastlabki (deformatsiyagacha) balandligi 
И
z  bo’lgan jism olamiz. U kesim yuzalari 
ИZ
F
butun 
balandlik bo’yicha bir xil (shakli bo’yicha ular turlicha bo’lishi mumkin) bo’lgan majburiy xossasi bi-
lan ajralib turadi (22-rasm). 
22-rasm. Jismning deformatsiyadan avvalgi va keyingi shakli 
Deformatsiyadan keyin jism balandligi 
Д
z
bo’lsin, ammo 
z
o’qiga normal jism kesimlarining 
yuzasi jism balandligi bo’yicha olingan turli nuqtalar uchun turlicha kattalikka ega bo’ladi. Bu yu-
zalarni ilgari bo’lgan belgilashlardan farqli ravishda «‘» indeks bilan belgilaymiz, ya’ni 
ДХ
F

. 
Ravshanki, gap jismning yakuniy shakli haqida ketar ekan, unda 
ДХ
F
jismni oxirgi shakli bilan aniqla-
nadigan 
z
ning funksiyasi hisoblanadi 

---

45 
23-rasm. Jismning oxirgi shakli. 
Masalan kesik konus uchun (23-rasm): 
2
)]
)
(
(
[
Д
ДХ
z
z
r
R
R
F





Deformatsiyalangan jismning balandligi 
Д
z

va yuzasi
ДZ
F

bo’lgan har bir elementar hajmi 
V

, balandligi 
И
z

va yuzasi 
ИZ
F
bo’lgan, dastlabki jismning qaysidir yerida mos ravishda 
joylashgan, unga teng elementar hajmning deformatsiyasi hisobiga hosil bo’lgan deb faraz qilamiz, 
ya’ni
ИZ
И
ДZ
Д
F
z
F
z
V






Кo’rilayotgan hajmlar cheksiz kichik balandlikka ega elementar hisoblanadi, elementar siljigan 
hajmlar uchun esa, ushbu tenglik haqiqiy bo’ladi [(48) va (49) formulalarga qarang]. 
)
ln(
ИZ
ДХ
CZ
F
F
V
V




, 
ammo
ДZ
Д
F
z
V




bundan, chegaralarga o’tib va deformatsiyadan keyin olingan shaklni butun balandligi bo’yicha 
integrallab ushbuga ega bo’lamiz: 





Д
Z
Д
ИZ
ДZ
ДZ
CZ
dz
F
F
F
V
0
)
ln(
(50) 
ya’ni, A.N. Bryuxanov formulasi yordamida siljigan hajmni, deformatsiyalangan jism 
ko’ndalang kesim yuzalari, uning balandligining turli nuqtalari uchun turlicha kattalikka ega bo’lgan 
holatda ham, aniqlash mumkin, chunki jismning oxirgi shakli va o’lchamlari doimo ma’lumdir. 
O’rtacha deformatsiya darajasini siljigan hajm bo’yicha aniqlash mumkin: 
V
V
c


(51) 
(48) formula, binobarin undan olingan (46) integral ham A.N. Bryuxanovning (50) formulasini 
xususiy holi hisoblanishini osongina isbotlash mumkin. 
Haqiqatan, agar jism deformatsiyadan keyin ko’ndalang kesim yuzasini doimiy kattaligiga ega 
bo’lsa, unda 
ДZ
F

=
ДZ
F
,
ИZ
F

esa shart bo’yicha doimiy. U paytda
Д
ДZ
z
V
F

va
И
ИZ
z
V
F

. 
F
ifodani (50) tenglamaga qo’yib, ushbuni olamiz: 
)
ln(
)
ln(
И
Д
Z
о
Д
Д
И
Д
CZ
z
z
V
dz
z
z
z
V
V
Д




, 
ya’ni, biz (48) formulani olamiz, buni isbotlash talab etilgan edi. 
Misol uchun, silindrni to’g’ri kesik konusga deformatsiyalashda (50) formulani integrali 
yordamida olinadigan, siljigan hajmni aniqlash ifodasini keltiramiz: 

---

46 
]
3
2
ln
3
2
ln
1
[
3
1





























Ц
В
В
Ц
Н
Н
c
F
F
r
R
R
H
F
F
F
r
R
R
H
F
V
bu yerda: 
Н
F  - kesik konusning 
pastki (katta) asosi yuzasi; 
В
F  - kesik konusning yuqoridagi asosi yuzasi; 
Н
- kesik konus balandligi; 
Ц
F
- boshlang’ich (dastlabki) silindr ko’ndalang kesim yuzasi.