Тўпламлар назарияси ва математик мантиқ элементлари

ТЎПЛАМЛАР ВА УЛАР УСТИДА АМАЛЛАР

Маъруза режаси:

• Тўпламлар ва улар ҳақидаги асосий тушунчалар
• ТЎпламлар устида амаллар
• Тартибланган тўплам тушунчаси
• Тўпламларнинг эквивалентлиги
• Тўпламларнинг қуввати

Таянч иборалар: Тўплам, тўплам элементлари, тенг кучли тўпламлар, қисм тўплам, бўш тўплам, тўпламларнинг бирлашмаси, тўпламларнинг кесишмаси, тўпламларнинг айирмаси, тўлдирувчи, универсал тўплам, тўпламлар алгебраси, тўпламнинг қуввати, бир қийматли акслантириш, чексиз ва саноқли тўпламлар, континууал қувват.
Сиз тўплам тушунчаси билан мактаб математика дарсларидан танишсиз.
 Т ў п л а м - тушунчаси математиканинг бошланғич тушунчаси ҳисобланиб унга таъриф берилмайди. Уни мисоллар орқали тасаввур қилинади.
Масалан,
Аудиториядаги талабалар тўплами
N – натурал сонлар тўплами
P - туб сонлар тўплами
Тўпламлар лотин алифбосининг бош ҳарфлари билан, масалан, A, B, C …; тўплам элементлари эса кичик ҳарфлари, масалан, a, b, c … билан белгиланади.
 Тўпламни ташкил этувчи нарсалар (объект, буюм, сонлар) одатда тўпламнинг элементлари деб аталади.
Тўплам чекли сондаги элементлардан ташкил топган бўлса, уни чекли тўплам деб аталади.
Чексиз элементлардан ташкил топган тўпламни чексиз тўплам деб аталади.
a, b, c, d, … элементлардан ташкил топган A-тўпламни A={a, b, c, d, …} каби ёзилади.
Тўпламлар назариясига математик фан сифатида немис математиги Г. Кантор (1845-1918) томонидан асос солинган.
«а элемент А тўпламга тегишли» бўлса, у ҳолда уни a  A каби ёзилади. Агар a - элемент A - тўпламга тегишли бўлмаса, у ҳолда уни aA каби ёзилади.
Бирорта ҳам элементи бўлмаган тўплам бўш тўплам дейилади ва кўринишда белгиланади.
Универсал тўплам.
Масалан, ёши 500 ошган инсонлар тўплами, бундай инсонлар мавжуд эмас, демак бу бўш тўплам. Ёки 3-сони билан якунланувчи, шунинг билан, 2-га бўлинувчи сонлар тўплами. Бундай сонлар ҳам мавжуд эмас. Бўш тўплам каби белгиланади.
Бир хил элементлардан ташкил топган тўпламлар тенг тўпламлар дейилади ва у A=B каби белгиланади.
1-таъриф. Агар А тўпламнинг ҳамма элементи В тўпламга ҳам тегишли бўлса, у ҳолда А тўплам В тўпламнинг қисм тўплами дейилади ва A  B кўринишда ёзилади.
Баъзи сонли тўпламлар ўз белгиларига эга:
барча натурал сонлар тўплами - N,
барча бутун сонлар тўплами - Z,
барча рационал сонлар тўплами - Q,
барча ҳақиқий сонлар тўплами – R
ҳарфлари билан белгиланади.
2-таъриф. Агар A1, A2, A3, … An - тўпламлар А тўпламнинг қисм тўплами бўлса, А тўплам A1, A2, A3, … An тўпламлар учун универсал тўплам дейилади.
Универсал тoплам, одатда, I ёки U ҳарфлари билан белгиланади. Масалан, N Z Q R, яъни R тўплам
қолган сонли тўпламлар учун универсал тўплам вазифасини бажаради.
2-таъриф. Агар A1, A2, A3, … An - тўпламлар А тўпламнинг қисм тўплами бўлса, А тўплам A1, A2, A3, … An тўпламлар учун универсал тўплам дейилади.
Тўпламлар устида амаллар
Тўпламлар орасидаги муносабатларни яққолроқ тасаввур қилиш учун тўпламлар доира ёки овал шаклида тасвирланади. Тўпламларни бундай тасвирлашни одатда Эйлер-Венн диаграммалари деб аталади.
Таъриф_._А_ва_B'>Таъриф. А ва B тўпламларнинг барча элементларидан тузилган тўпламни А ва B тўпламларнинг бирлашмаси деб аталади ва А B каби ёзилади.
Масалан, А={2; 5; 7} ва B={2; 4; 7; 11} тўпламларнинг бирлашмаси
А B ={2; 4; 5; 7; 11}.
Тўпламларнинг бирлашмаси қуйидаги хоссаларга эга.
Таъриф. А ва B тўпламларнинг умумий элементларидан (ҳар иккаласида ҳам мавжуд бўлган элементлардан) тузилган тўпламга А ва B тўпламларнинг кесишмаси (кўпайтмаси) деб аталади ва
А B каби ёзилади.
Масалан, А ={5; 2; 7} ва B ={4; 7; 2; 11} тўпламларнинг кесишмаси
А B ={2; 7}.
Тўпламларнинг бирлашмаси ва кесишмаси қуйидаги хоссаларга эга.
Таъриф. А тўпламнинг B тўпламда мавжуд бўлмаган элементларидан тузилган тўпламни А ва B тўпламларнинг айирмаси деб аталади ва А B каби белгаланади.
Масалан, А={5; 2; 7; 6} ва B ={2; 4; 7; 19; 17} тўпламларнинг айирмаси А \ B = {5; 6}. Тўпламларнинг айирмаси қуйидаги хоссаларга эга:
Таъриф. А тўпламнинг B тўпламда ва B тўпламнинг А тўпламда мавжуд бўлмаган элементларидан тузилган тўпламга шу тўпламларнинг симметрик айирмаси деб аталади ва АB каби белгиланади.
Масалан, А={5; 2; 7; 9} ва B={2; 4; 11; 7; 13} тўпламларнинг симметрик айирмаси
АB ={5; 9; 4; 11; 13}.

• A={a}, B={a, b}, C={a, b, c}, B={1, 2, 3, … n}- чекли тўпламлар;
• C={2, 4, 6, … 2n, …}- жуфт сонлар тўплами;
• D={1, 4, 9, 16, … n2, …} - сонлар квадратларидан иборат бўлган тўплам;
• D={0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … }- Фибоначчи сонлари тўплами.

Тўпламларга мисоллар:
2), 3), 4)-тўпламларни чексиз тўпламлар дейилади.
Тўпламдаги элементлар сонини – тўпламнинг қуввати дейилади ва каби белгиланади.
Демак, А-тўпламнинг қуввати дейилади.
- тўпламни қувватини англатувчи белги.