Tub sonlar bilan boʻgʻliq boʻlgan baʼzi bir masalalar

2.Eyler va terma teoremalari va ularning tadbiqlari
6-Teorema(Ferama). Agar a son p tub songa bo‘linmasa, u holda

taqqoslama o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. A son p tub songa bo‘linmasa, u holda (a,p)=1 bo‘ladi. Bundan, Eyler teormasiga ko‘ra, m=p va ekanligidan

bo’ladi, yoki (a,p)=1 bo‘lgani uchun

bo’ladi
3-Ta’rif. Ushbu
ax b(mod m) (4)
ko‘rinishdagi taqqoslama bir noma‘lumli birinchi darajali taqqoslama deyiladi. (bu yerda a va b – butun sonlar, m – natural son)
4-Ta’rif. Agar (4) taqqoslamada bo‘lganda taqqoslama to‘g‘ri bo‘lsa, u holda son taqqoslamani qanoatlantiradi deyiladi.
5-Ta’rif. m modul bo‘yicha taqqoslamaning yechimlar soni deb, bu taqqoslamaning m modul bo‘yicha chegirmalarning to‘liq sistemadagi yechimlar soniga aytiladi.
Agar a son (4) taqqoslamani qanoatlantirsa u holda m modul bo‘yicha a bilan taqqoslanuvchi son ham bu taqqoslamani qanoatlantiradi, bunday 2 ta yechim bitta deb qaraladi.
7-Teorema. Agar (a,m)=1 bo‘lsa, u holda (4) taqqoslama yagona yechimga ega bo‘ladi.
Isboti. m modul bo‘yicha chegirmalarning to‘la sistemasi
bo‘lsin, u holda (5)
ham chegirmalarning to‘la sistemasi bo‘lishi ma‘lum. Agar (4) da x o‘rniga `ketma ket (5) dagi chegirmalarni qo‘yib ko‘rsak, u holda bu taqqoslamaning chap qismi faqat bitta son uchun sonning b songa tegishli bo‘lgan chegirma sinfiga tegishli bo‘lishini bildiradi, bunda
bo‘ladi. Demak, agar (a,m)=1 bo‘lsa, (4) taqqoslama yagona bo‘lgan x= (mod m) yoki x= +mt, t yechimga ega bo‘ladi.
8-Teorema. Agar (a,m)=d>1 va b son d ga bo‘linmasa, u holda ax b(mod m) taqqoslama yechimga ega bo‘lmaydi.
Isboti. Faraz qilaylik, ax b(mod m) taqqoslama uchun m modul bo‘yicha
sinf yechim bo‘lsin va bo‘lsin, u holda yoki bo‘ladi. dan kelib chiqadi. Bunday bo‘lishi mumkin emas, shartga ko‘ra b son d ga bo‘linmaydi. Demak, teorema isbotlandi.
9-Teorema. Agar (a,m)=d>1 va b son d ga bo‘linsa, u holda taqqoslama d ta turli yechimlarga ega bo‘ladi. Bu yechim modul bo‘yicha bitta sinfni tashkil qiladi.
Isboti. Shartga ko‘ra a,b va m sonlar d ga bo‘linadi. (4) ni d ga bo‘lib, unga teng kuchli bo‘lgan
(6)
taqqoslamaga ega bo‘lamiz. Haqiqatan x=a son (6) ni qanoatlantirsa, u holda taqqoslamaga ega bo‘lamiz, uning ikkala qismini va modulni d ga bo‘lib, hosil bo‘ladi. Demak, a (6) ni qanoatlantiradi.
Aksincha, butun son taqqoslamani qanoatlantirsin. Bu taqqoslamaning ikkala qismini va modulni d ga ko‘paytirib, taqqoslamani hosil qilamiz. Demak, ni qanoatlantiradi.
Shunday qilib (4) va (6) teng kuchli ekan. (6) dagi (a, )=1, shuning uchun bu taqqoslama
V
yagona yechimga ega, bu yerda m modul bo‘yicha manfiymas eng kichik chegirma bo‘lsin yoki
(7)
(7) dagi har bir chegirma (6) ni qanoatlantiradi va demak, (4) ni ham qanoatlantiradi. modul bo‘yicha (7) dagi hamma sonlar bitta sinfga tegishli, lekin modul bo‘yicha ular turli sinflarga tegishli bo‘ladi, bu sinflarning chegirmalari esa
(8)
Demak, (4) m modul bo‘yicha d ta turli yechimga ega bo‘ladi:

bu yerda - (3) taqqoslamaning yechimi bo‘lgan sinfning eng kichik manfiymas chegirmasi.
10-Teorema. Agar (a,m)=1 bo‘lsa, u holda taqqoslamaning yechimi bo’ladi.
Isboti. (a,m)=1 bo‘lgani uchun Eyler teoremasiga ko‘ra Bundan

(9)
Demak, (1) va (9) ni solishtirsak, yechimi ekani ko‘rinadi.