Туннельный эффект. Гармонический осциллятор в квантовой механики План Туннельный эффект. Стационарные задачи квантовой механики

Волновые функции частицы. Из (3) с учетом (4) получаем

Множитель A находим из условия нормировки
,
Таким образом, собственные волновые функции стационарных состояний частицы массы m в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками имеют вид
, где , . (6)
Функции первых трех состояний изображены на рис.1, справа. В каждом квантовом состоянии энергия имеет определенное значение , в котором функция осциллирует внутри ямы и для заданного квантового числа имеет узловых точек, где волновая функция обращается в нуль, не считая точек на краях ямы (рис.1).


Трехмерная потенциальная яма с непроницаемыми стенками. Пусть частица находится внутри потенциального «ящика» в виде куба, длина ребер которого равна L. Потенциальная энергия внутри куба равна нулю, а на гранях куба и во всем остальном пространстве обращается в бесконечность. Вне «ящика» волновая функция .
Поскольку движение частицы в ящике вдоль осей и происходит независимо, волновую функцию можно представить в виде произведения:

В этом случае трехмерное уравнение Шредингера для стационарных состояний разбивается на три одномерных уравнения типа уравнения (1) для осей x,y,z. Решение этих уравнений приводит к полной энергии
, (7)
зависящей от трех квантовых чисел , которые принимают значения: 1, 2, 3, 4…, независимо друг от друга ( ).
Энергетические состояния, для которых , являются невырожденными, им соответствует одна волновая функция. Остальные состояния оказываются вырожденными: одному уровню энергии соответствует несколько квантовых состояний частицы с разными волновыми функциями.
Состояние с квантовыми числами - основное, оно имеет наименьшее значение энергии.


Квантовый гармонический осциллятор.

Гармонический осциллятор – это система, способная совершать гармонические колебания. Малые колебания вблизи положения равновесия можно считать гармоническими.

Примером таких колебаний в квантовой механике являются колебания атомов в молекулах, твердых телах и т.д.
Гармонические колебания частицы под действием возвращающей квазиупругой силы в классической физике описывается уравнением
, или , где .
Здесь частота гармонических колебаний, - масса частицы.
Потенциальная энергия такого осциллятора равна
, (23)
Квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы в параболической потенциальной яме (23) и решению стационарного уравнения Шредингера
. (24)
Решение этой задачи приводит к квантованию энергии в виде


(25)
Число называется