U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

Teorema. Ixtiyoriy 
va natural
son uchun
∑
formula o„rinli, bu yerda
natural son.
Bu formula umumlashgan Nyuton formulasi deb ataladi.
Isboti.
ifodaning yoyilmasini 
ta bir xil 
ifodalarning ko„paytmasi shaklida yozaylik: 
⏟
Qavslarni ochib, o„xshash hadlarni ixchamlaymiz. Yoyilmaning 
tarkibidagi har bir 
ko„paytmaning koeffitsiyentlari 
ta elementli (
) takrorli o„rin almashtirishlar 
soniga teng bo„lib chiqadi. Demak, berilgan ifodaning yoyilmasi
∑
yig„indidan iborat.  
Ko„phad yoyilmasini hisoblaganda,
(
) sonlar 
(
) sonlarning o„rin 
almashtirishlari natijasida hosil bo„lsa, u holda 
va 
hadlarning koeffitsiyentlari teng bo„ladi. Daraja 
ko„rsatkich 
sonini
ko„rinishida bo„laklashda

---

61 
yoki 
shartni qanoatlantiradigan 
qilib tanlash va unga mos
ifodaning daraja 
ko„rsatkichlarini mumkin bo„lgan barcha o„rin almashtirishlari olinadi.
Masalan, 
ifodaning yoyilmasini topaylik. Daraja 
ko„rsatkich 3 sonini mumkin bo„lgan barcha imkoniyatlar bilan 
bo„laklaylik. Bunday imkoniyatlar soni 3 ta bo„lib, ular 
ko„rinishida va qolgan imkoniyatlar har bir yoyilmadagi sonlarning o„rin 
almashtirishlari natijasida kelib chiqadi. Demak, 
ifodaning 
yoyilmasida uch turli koeffitsiyentlar mavjud: 
Ifodaning yoyilmasi: 
ko„rinishda bo„ladi. 
1-misol. «Matematika» so„zidan harflarni almashtirib, necha xil 
usul bilan so„z yasash mumkin?
Yechish: 
«m» harfi ikki marta, «a» harfi uch marta, «t» 
harfi ikki marta, qolgan harflar bir marta ishtirok etyapti. Umumiy 
usullar soni 
ta. 
Agar harflar bir marta qatnashsa, masalan, «a» harfi alohida 
olingan element deb qabul qilinsa, u holda 
ta usul mavjud 
bo„ladi.