U. X. Xonqulov matematikaning stoxastika

Ko‘rsatma: 
arifmetik progressiya xossasidan
foydalaning. 
J: 
da
 
3-§. Takrorlanuvchi o‘rinlashtirishlar, o‘rin almashtirish va 
guruhlashlar 
 
3.1. Takrorlanuvchi o‘rinlashtirishlar.
ta elementdan iborat 
to„plam berilgan bo„lib, uning elementlaridan 
uzunlikdagi kombinat-
siyalar tuzilsin. Kombinatsiyalardagi har bir elementlar 
tadan oshma-

---

57 
gan holda istalgancha takrorlanishi mumkin bo„lsin. Bu kombinatsiyalar 
bir-biridan elementlarining tarkibi va joylashish tartibi bilan farq qiladi. 
Bunday usul bilan tuzilgan birlashmalarga 
ta elementdan tadan olib 
tuzilgan takrorli o„rinlashtirishlar deyiladi.
Ushbu misolga qaraylik. 
ta elementli { } to„plam 
elementlaridan raqamlari takrorlanishi mumkin bo„lgan ikki xonali 
sonlarni topish talab qilinsin. 
Ikki xonali sonning ko„rinishi 
bo„lib, uzunligi ikkiga teng 
bo„lgan kombinatsiyani ifodalasin. Birinchi raqamni tanlash uchun 
{ } to„plamning elementlaridan birini, ya‟ni uchta imkoniyat, 
ikkinchi raqamni tanlash uchun esa, yana uchta imkoniyat mavjud. 
Chunki ikki xonali sonning raqamlari takrorlanishi mumkinligi masala 
shartida keltirilmoqda. Ko„paytirish qoidasiga ko„ra, uzunligi ikkiga 
teng bo„lgan kombinatsiyalar soni 
ta ekan. Bu sonlar: 
33,44,55,34,35,45,43,53,54 ko„rinishida bo„lishi mumkin. 
Teorema. 
ta turli elementlardan tadan takrorli o„rinlash-
tirishlar soni: 
formula yordamida topiladi. 
Isboti: Teoremani isbotlash uchun matematik induksiya usulidan 
foydalanamiz. 
Induksiya bazasi: 
uchun
ekanligi ravshan.
Induksion o‘tish: 
uchun
formulani to„g„ri deb 
faraz qilib, 
bo„lganda,
formula ham to„g„ri 
ekanini ko„rsatamiz. 
elementdan tadan olib tuzilgan takrorli 
o„rinlashtirishlarning ixtiyoriy birini quyidagicha hosil qilish mumkin. 
Bunday takrorli o„rinlashtirishlarning birinchi elementi sifatida 
{ 
} to„plamning ixtiyoriy elementini olamiz. Bu elementdan 
keyin umumiy soni 
ta bo„lgan, ya‟ni 
ta elementdan tadan takrorli 
o„rinlashtirishlarni ixtiyoriy biridagi barcha elementlarni joylashtiramiz. 
Bunday o„rinlashtirishlarda 
{ 
} to„plamning element-
larini ixtiyoriy birini tanlash mumkinligini hisobga olsak, ko„paytirish 
qoidasiga ko„ra, 
ta elementdan tadan takrorli o„rinlashtirish-
larning jami soni 
Bu ifoda formulani
uchun to„g„riligini ko„rsatadi.

---

58 
Demak, umumlashgan ko„paytirish qoidasiga binoan, 
ta 
elementli 
to„plam elementlaridan tuzilgan uzunlikdagi elementlari 
takrorlanishi mumkin bo„lgan kombinatsiyalar soni
ta bir xil to„plam 
elementlarining soniga teng ekan. Bu son 
ta ‒ to„plam 
elementlari soni ko„paytmasidan iborat: 
⏟