Учебно-методическое пособие для студентов специальности 1-36 20 02 «Упаковочное производство»

8.3.2. Cоставление алгоритма 
 
Для решения дифференциального уравнения теплопроводности 
бесконечного цилиндра воспользуемся методом сеток, суть которо-
го заключается в разбиении координатной плоскости на равные 
части и вычислении значения искомой функции в узлах образуемой 
сетки [14, 15]. Используя значения функции в крайних точках, 
можно последовательно вычислить ее значение в любой части ко-
ординатной плоскости. В общем случае, когда температура зависит 
от координат x, y, z, дифференциальное уравнение теплопроводно-
сти конечного цилиндра имеет вид 
2
2
1
.
T
T
T
a
t
r
r
r






 









Заменим частный дифференциал разностным отношением 
 
 
 
,
,
,
1
.
T t r
r
T t r
T t r
a
t
r
r
r


















 











Осуществим следующее преобразование функции 
 


,
,
:
i i
f t r
f t r





 
,
,
,
1
.
i i
i i
T t r
r
T t r
T t r
a
t
r
r
r


















 












---

45 

 


  

  
1
1
1
1
1
,
,
,
,
,
,
1
i i
i i
i
i
i i
i i
i i
i
T t r
T t r
r
T t
r
T t r
T t r
T t r
a
t
r
r
r























 













 
 
  

  
2
1
1
1
,
,
,
,
,
,
1
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i
T t r
T t r
T t r
T t r
T t r
T t r
r
a
r
r
r














 





















2
1
1
2
,
2
,
,
,
,
1
;
i i
i i
i i
i i
i i
i
T t r
T t r
T t r
T t r
T t r
a
r
r
r









 










1
1
1
,
,
i
i
i i
T t
r
T t r





(8.1) 










2
1
1
,
2
,
,
,
,
.
i i
i i
i i
i i
i i
i
T t r
T t r
T t r
T t r
T t r
a t
r
r
r

















Затем уравнение (8.1) подготавливают для рекуррентного вычис-
ления в MATLAB V6 и проводят переобозначения. 
В результате последовательных вычислений можно получить мас-
сив Т, характеризующий температурное поле неограниченного ци-
линдра в любой момент времени. 
1. Сама программа начинается с задания следующих перемен-
ных: начального и конечного моментов времени, радиуса цилиндра 
и числа его разбиений, констант, которые характеризуют тепловые 
и физические свойства полимера. 
2. Вторым этапом является вычисление шага аргументов, исполь-
зуемого для вычисления исходной функции. 
3. Третьим этапом являются краевые условия, когда значения 
искомой функции в начальный момент времени t
0
= 0 изменяются
в зависимости от радиуса, при этом температуры стенки литнико-
вого канала задаются циклом For. 

---

46 
4. Следует иметь в виду, что каждый элемент вектора, который 
характеризует температурное поле в начальный момент времени, 
обозначает значение температуры, вычисленное как значение функ-
ции распределения, относящейся к циклу. При этом число циклов 
присвоения значений вектору возрастает вдвое, так как его элемен-
тов на один должно быть больше, чем число интервалов разбиений, 
и на одно значение больше, чтобы можно было вычислить значение 
массива в центре цилиндра после перехода от внутреннего цикла
к внешнему. 
5. Пятым условием является то, что каждому элементу вектора, 
который характеризует температуру стенки канала в любой момент 
времени, присваивается постоянное значение температуры. Причем 
число циклов присвоения значений вектору увеличивают на один, 
так как его элементов должно быть на один больше, чем число 
интервалов разбиений. 
6. С целью вычисления матрицы, определяющей температуру 
цилиндра по радиусу в любой момент времени, используют два вло-
женных цикла For. При этом во внутреннем цикле предусматривают 
изменение радиуса цилиндра с вычислением температурного поля
в заданный момент времени. 
7. С переходом к внешнему циклу отсчет времени возрастает на 
единицу, а значение производной температуры по радиусу в любой 
момент времени равно 0, и поэтому для учета еще одного краевого 
условия при переходе от внешнего цикла к внутреннему значение 
последней температуры принимается большим в два раза. 
8. После получения матрицы строят график. Для удобства поль-
зования необходимо, чтобы координатные оси были проградуиро-
ваны соответствующим образом переставлением столбцов в матри-
це температур, что осуществляется при использовании двух пере-
менных циклов. Затем осуществляется построение графика с гра-
дуировкой его осей.