Учебное пособие Издание второе, исправленное Новосибирск 2010

Занимательные математические задачи
45
Домашнее задание 31
1. В правительстве 20 министров. По крайней мере, один из них 
честен. Из любых двух министров хотя бы один продажен. Сколько 
честных министров?
2. В чемпионате страны по хоккею участвует 14 команд. Каждые 
две команды должны сыграть между собой один матч. Сколько мат­
чей должно быть сыграно в чемпионате?
3. Пять участников олимпиады набрали по 15, 14, 13 баллов и 
заняли первое, второе и третье места, а вместе они набрали 69 бал­
лов. Сколько участников заняли каждое призовое место?
4. Заяц пробегает 500 м за 25 сек., собака - 300 м за 
10
сек. За ка­
кое время собака догонит зайца, если расстояние между ними было 
120
м?
5. В первенстве по шахматам участвуют 5 команд. Каждые две 
команды должны сыграть между собой один матч. Докажите, что в 
любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие одина­
ковое количество матчей.
6
. Один из пяти братьев разбил окно. Андрей сказал: «Это или 
Витя, или Толя». Витя сказал: «Это не я и не Юра». Толя сказал: 
«Вы оба говорите неправду». Дима сказал: «Нет, один из них сказал 
правду, а другой солгал». Юра сказал: «Нет, Дима, ты не прав». 
Отец знает, что не менее трех братьев сказали правду. Кто разбил 
окно?
Занятие 32.
И н в а р и а н ты , к о н ст р у к ц и и
1. На столе стоят 7 стаканов дном вверх. Разрешено переворачи­
вать одновременно любые два из них. Можно ли поставить все ста­
каны дном вниз?
2. Круг разбит на 
6
секторов. В секторах стоят 
6
шашек, по од­
ной в каждой. За один ход разрешается передвинуть 
2
шашки, на 
один сектор каждую, в одинаковых или противоположных направ­
лениях. Можно ли за несколько ходов собрать все шашки в одном 
секторе?
3. Каждая из расположенных по кругу 12 ламп может находиться 
в одном из двух состояний: гореть или не гореть. За один ход можно 
изменить состояние любых трех ламп, расположенных подряд. Вна­

---