Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

разделяют на внутренние – силы взаимодействия между точ-
ками самой системы и внешние, обусловленные действием 
тел (и полей), не принадлежащих системе. 
Пусть система состоит из 
материальных точек с мас-
сами 
1
2
N
. На точку 
k
действуют все 
прочие точки данной системы; равнодействующую всех 
внутренних сил, приложенных к точке 
k
, обозначают 
⃗
i
k
,
а равнодействующую внешних сил – через 
⃗
e
k
. 
Сила, приложенная к точке m
k
, равна геометрической 
сумме 
⃗
k
⃗
i
k
⃗
e
k
.
(6.9) 
Внутренние силы любой механической системы обла-
дают важными свойствами: 
1) 
геометрическая их сумма равна нулю: 
⃗
i
∑
⃗
i
k
; 
(6.10) 
2) 
геометрическая сумма моментов внутренних сил 
относительно любой точки пространства равна нулю: 
⃗⃗⃗
i
∑
⃗⃗⃗⃗
k
⃗
i
k
.
(6.11) 
Оба эти свойства − следствие того, что внутренние силы 
равны и направлены противоположно друг другу по одной 
прямой, на которой лежат точки (третий закон Ньютона). 

---

143 
6.3. Общие теоремы динамики системы 
Число общих теорем в случае системы равно четырем, 
тогда как в случае точки их три. Четвертая теорема – о дви-
жении центра масс – только по форме отличается от теоремы 
об изменении количества движения. Две другие теоремы те 
же, что и в случае точки: об изменении кинетической энергии 
и об изменении момента количества движения. 
Пусть несвободная (со связями) механическая система 
состоит из N материальных точек, массы которых m
1
, 
m
2
,…,m
N
. Пользуясь аксиомой о связях, освободим систему от 
наложенных связей и приложим к ее точкам силы, равные ре-
акциям связей. После этой операции разделим все силы, дей-
ствующие на точки системы, на два класса: внешние внут-
ренние. Последние, как и силы взаимодействия между точка-
ми системы, должны удовлетворять принципу «действия и 
противодействия» согласно третьему закону Ньютона. Диф-
ференциальные уравнения движения материальных точек си-
стемы теперь такие: 
k
⃗
k
⃗
e
k
⃗
i
k
,(k=1,2,…,N), 
где 
⃗
e
k
– главный вектор (геометрическая сумма) всех внеш-
них сил, действующих на точку m
k
; 
⃗
i
k
– главный вектор всех 
внутренних сил, действующих на ту же точку m
k
. 
Ввиду того, что вывод общих теорем динамики системы 
аналогичен выводу таких же теорем в динамике точки, рас-
смотрим следующую схему. Представим уравнения движе-
ния точек m
k 
системы согласно второму закону Ньютона. Си-
стема, хотя и состоит из отдельных точек, представляет со-
бой единое целое. Просуммируем уравнения движения точек 
по всем точкам системы. В результате приходим к трем тео-
ремам. 

---

144 
Введем обозначения: 
⃗⃗ ∑
k
⃗
k 
– количество движения системы – гео-
метрическая сумма количеств движения всех материальных 
точек системы; 
∑
k
2
k
– кинетическая энергия системы – 
сумма кинетических энергий всех точек системы; 
⃗⃗⃗
o
∑
⃗
k
k
⃗
k
) – кинетический момент системы 
относительно центра О. 
⃗
e
∑
⃗
e
k
– так называемый главный вектор внешних 
сил системы (геометрическая сумма всех внешних сил си-
стемы); 
⃗⃗⃗
e
o
∑
⃗
k
⃗
e
k
– главный момент внешних сил си-
стемы относительно центра О (геометрическая сумма мо-
ментов всех внешних сил системы относительно центра – 
начала координат О); 
e
∑
⃗
e
k
⋅ ⃗
k
– элементарная работа внешних сил 
системы на перемещение системы 
⃗
1
⃗
2
⃗
N
); 
i
∑
⃗
i
k
⋅ ⃗
k
– элементарная работа внутренних 
сил системы. 
∑
k
⃗
k
∑
⃗
i
k
∑
⃗
e
k
. 
Учитывая, что согласно (39.10) ∑
⃗
i
k
, и пользуясь 
обозначениями ∑
k
⃗
k
⃗⃗ и ∑ ⃗
e
k
⃗
e
, приходим к равен-
ству 
⃗
e
. Аналогично выводятся и два других равенства. 
Сформулируем обще теоремы динамики системы. 
В движении механической системы относительно 
инерциальной системы отсчета имеют место следующие 
равенства: 
1. 
Теорема об изменении количества движения меха-
нической системы. Производная по времени от количества 

---

145 
движения системы равна главному вектору (геометрической 
сумме) всех действующих на систему внешних сил: 
k
⃗
k
⃗
e
. 
2. 
Теорема об изменении кинетической энергии меха-
нической системы. Дифференциал кинетической энергии ме-
ханической системы равен элементарной работе внешних и 
внутренних сил, приложенных ко всем точкам системы: 
dT =
e
 + 
i
. 
3. 
Теорема об изменении кинетического момента си-
стемы. Производная по времени от кинетического момента 
системы, взятого относительно неподвижного центра, равна 
главному моменту внешних сил системы относительно того 
же центра: 
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
e
o
. 
Следует иметь в виду, что количество движения точки 
k
⃗
k 
– связанный вектор, он приложен к материальной точке 
m
k
, тогда как количество движения системы 
⃗⃗ – вектор сво-
бодный; обычно на рисунках 
⃗⃗ прикладывают к началу коор-
динат. Главный вектор внешних сил 
⃗
e
– это свободный век-
тор. Кинетический момент системы 
⃗⃗⃗
о 
по своему определе-
нию связан с центром О, относительно которого берутся мо-
менты; то же характерно и для главного момента внешних 
сил 
⃗⃗⃗⃗
е
о
. 
Главный вектор внешних сил системы 
⃗
е
, поскольку это 
свободный вектор, можно найти так. От какой-нибудь точки 
пространства, например, от начала координат, откладываем 
векторы, равные внешним силам системы 
⃗
е
k
. Затем геомет-
рически откладываем их по правилу параллелограмма или, 

---

146 
лучше, по правилу многоугольника. Вектор 
⃗⃗⃗⃗
е
получим, если 
в центре (т.е. в точке О, относительно которой берутся мо-
менты) сложим геометрически моменты всех внешних сил по 
правилу многоугольника.