Учебное пособие Ростов-на-Дону 2010 Ольшанский, В. В

Q(t) = Pt { t £ t }, 0£ t £ (1.10)
Плотность f(t) представляет собой производную от Q(t).
Широкое применение в теории надёжности находит показательный, или, другими словами, экспоненциальный закон распределения. Строго говоря, он имеет место лишь в случаях, когда случайные события, представляющие отказы ТО, образуют так называемый простейший поток, т.е. такой процесс, который обладает свойствами ординарности, стационарности и отсутствием последействия. При этом наиболее простой аналитический вид Q(t) и другие вероятностные соотношения имеют в том случае, если в качестве основной характеристи­ки используется интенсивность отказов l(t). Как отмечалось,
(1.11)
где P(t) - вероятность того, что время t работы объекта до отказа будет больше t:
P(t) = Pt { t ≥ t } = 1 – Q(t). (1.12)
Из (1.12) видно, что функция P(t) несет столь же полную информацию о t, как и Q(t) или f(t). Она представляет собой вероятность безотказной работы ТО и очень часто используется в расчетах надежности. В этой связи Р(t) называется функцией надежности.
Для простейшего потока интенсивность отказов l(t) = const. На практике потоки отказов являются близкими к простейшим для многих современных ТО на определенных участках этапа эксплуатации.
Так как для периода нормальной эксплуатации l(t) = l = const для большинства рассматриваемых объектов, то имеет место экспоненциальный закон распределения случайной величины t. При этом
(1.13)
(1.14)
(1.15)
Эти зависимости могут быть получены различным образом. Наиболее просто они выводятся с использованием закона Пуассона

где F_k(t) - вероятность того, что в течение времени t произой­дет k отказов.
Найдем вероятность того, что в течение времени t не произойдет ни одного отказа ("наступит" 0 отказов).

поскольку (lt)⁰ и 0! равны 1. Вероятность F₀(t) является вероятностью того, что время до первого отказа не превосходит t, т.е. F₀(t) = P(t), откуда следует справедливость (1.15), а с учетом (1.12) - справедливость (1.13) и (1.14).
Эти же зависимости можно получить, используя (1.11). С учетом того, что

выражение (1.11) примет вид

Интегрируя обе части полученного выражения на отрезке (0, t), получим