Учебное пособие Ростов-на-Дону 2010 Ольшанский, В. В

λt = - ln P(t) .
После потенцирования этого выражения убедимся в справедливости (1.15).
Плотность распределения вероятности наработки до отказа представлена на рис.1.5.
Поскольку , то площадь под кривой f(t) равна 1, как для всякой плотности вероятности.

На практике большой интерес представляют такие показатели надёжности, как охарактеризованная в общем виде в п.1.3.4 средняя наработка до отказа, представляющая согласно ГОСТ 27.002-89 ''Надежность в технике" математическое ожидание T₀ случайной величины t, а также ее дисперсия D_t или среднее квадратичное отклонение σ_t, . Показатель Т₀ характеризует t в среднем, является характеристикой положения t на оси времени, а s_t характеризует рассеивание, разброс значений t относительно Т₀. В соответствии с зависимостью (1.8) найдем, что для экспоненциального закона

Заменим - lt = x, тогда при t = 0, x = 0, а при t=¥, х = - ¥ ;

(1.16)
Следовательно, Т₀ является величиной обратной l. Для определения s_t используем известное выражение для дисперсии и (1.14). В результате получим, что

Интеграл под корнем берется по частям и равен откуда
(1.17)
То обстоятельство, что при экспоненциальном распределении величины t показатели Т₀ и s_t совпадают, используется как подтверждение его справедливости, если полученные статистическим путем аналоги Т₀ и s_t оказываются близкими по величине.
Отметим, что в приближенных расчетах используются зависимости
Q(t) ≈ λt, P(t) ≈ 1 – λt, (1.18)
которые получаются после разложения в ряд Тейлора до линейного члена. При этом, если lt 0,1, ошибка в определении значений Q(t) и Р(t) не превышает 5%. Впрочем, для функции e^-x составлены подробные таблицы (см., например, [1] ), на большинстве компьютеров она вычисляется как встроенная.
Таким образом, если имеет место экспоненциальный закон распределения вероятностей наработки до первого отказа t, то достаточно определить один из показателей l, Т₀, s_t, чтобы рассчитать Q(t), P(t), f(t) для любых t. В этом смысле экспоненциальный закон является однопараметрическим, так как полностью определяется одним параметром, например интенсивностью отказов l.
Можно показать, что если отказы ТО образуют простейший поток, то в связи с отсутствием последействия наработка между отказами t⁰ характеризуется точно так же, как и t. В частности,

При этом t⁰ = [ t_i, t_i + 1 ], где t_i - момент возникновения i-го отказа ТО, i = 1,2,...; [ t_i, t_i + 1 ] промежуток времени между i-м и (i + 1)-м отказами.
В периоды приработки и износа, а также для некоторых ТО в период нормальной эксплуатации показательный закон для t, t⁰ может оказаться неприемлемым. Наиболее распространенным в этих случаях законом распределения является нормальный. В первую очередь это относится к периоду износа и старения, для которого характерны постепенные отказы.
Как известно, при нормальном распределении случайная величина может принимать любые значения от -¥ до +¥. Пос­кольку временные случайные величины не могут иметь отрицательных значений, для них может быть использован лишь усеченный нормальный закон.
Усеченным нормальным распределением случайной величины называется распределение, получаемое из нормального при ограничении интервала возможных значений этой величины. Так как возможные значения случайной величины t ограничены положительными значениями, то плотность вероятностей для усеченного распределения