Учебное пособие Санкт-Петербург

3.1.1.1 Теплопроводность плоской стенки 
а) Однородная стенка 
Рассмотрим однородную стенку толщиной δ с теплопроводностью λ. 
На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные 
температуры t
1
и t
2
. За счет постоянного теплового потока температура 
изменяется только вдоль оси х, т.е. поле одномерное. 
Выделим внутри стенки слой толщиной dx. На основании закона 
Фурье можно записать 
dx
dt
q



или 
.
dx
q
dt



Величина 
const
q

(стационарный режим) и поэтому 
c
x
q
t




Рисунок 3.2 Однородная стенка в стационарном режиме 

---

94 
Постоянная интегрированная С определяется из граничных условий, а 
именно при 
1
0
t
t
x


, 
2
t
t
x



и имеем 
1
2
t
q
t




Откуда 


.
2
1
t
t
t
q








(3.6) 
Значения 


принято называть тепловой проводимостью, а 


- 
тепловым (термическим) сопротивлением. 
Выражение (3.6) получено при 
const


. В действительности часто 
)
(t



и тогда получаются более сложные зависимости [1]. 
б) Многослойная стенка 
На практике часто приходится рассчитывать многослойные стенки 
(жилые дома, теплосиловые устройства и т.д.). 
Пусть известны значения 
,
,
,
,
,
,
,
,
3
2
1
3
2
1
4
1






t
t
а также известно, что 
тепловой контакт между поверхностями идеальный (рис. 3.3). Требуется 
определить тепловой поток, проходящий через стенку. 
Рисунок 3.3 Многослойная стенка в стационарном режиме 
При стационарном режиме тепловой поток 
q
постоянен и для всех 
слоев одинаков. Поэтому на основании (3.6) 
















)
(
)
(
)
(
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
t
t
q
t
t
q
t
t
q


































3
3
2
2
1
1
4
1
3
3
4
3
2
2
3
2
1
1
2
1












q
t
t
q
t
t
q
t
t
q
t
t
(3.7) 
Искомый тепловой поток из (3.7) равен 
.
1
1
1
3
3
2
2
1
1
1
1










n
i
i
i
n
n
t
t
t
t
q









---

95 
3.1.1.2 Цилиндрическая стенка 
а) Однослойная стенка 
Рассмотрим цилиндрическую стенку с размерами r
вн
, r
нар
, l (рис.2.3), 
теплопроводностью λ, у которой известны температуры t
вн
и t
нар
, причем t
вн 
> t
нар
. Температурное поле одномерное. 
Выделим внутри стенки кольцевой слой радиусом r и толщиной dr. 
Согласно закону Фурье количество тепла, проходящего в единицу 
времени через этот слой, равно 
dr
dt
rl
dr
dt
F
Q


2




Рисунок 3.3 Цилиндрическая стенка в стационарном режиме 
Разделив переменные, получим 
r
dr
l
Q
dt

2


После интегрирования 
.
ln
2
c
r
l
Q
t




Подставляя значения переменных на границах (
вн
t
t
r
r


,
1
и при 
нар
t
t
r
r


,
2
) и исключая постоянную С, получаем следующую расчетную 
формулу 


ц
ц
нар
вн
нар
вн
t
t
t
t
t
r
r
l
Q









1
2
ln
2
1
2
ln
2
r
r
l
ц



Количество тепла, проходящего через стенку трубы, может быть 
отнесено к единице длины или площади, например 

---

96 
1
2
1
ln
2
1
r
r
t
l
Q
q





б) Многослойная стенка 
Поступаем аналогично тому, как при выводе расчетных формул для 
многослойной плоской стенки 






n
i
i
i
i
нар
вн
d
d
t
t
F
Q
q
1
1
1
ln
2
1

 
3.1.2 
Конвективный теплообмен. Основные понятие и определения 
Под конвективным теплообменом будем понимать процесс передачи 
тепла конвекцией и теплопроводностью. Конвективный теплообмен между 
потоком жидкости или газа и поверхностью твердого тела называется 
конвективной теплоотдачей или просто теплоотдачей. Обычно в 
инженерных расчетах определяют теплоотдачу и используют для этого 
закон Ньютона – Рихмана 


,
подн
C
t
t
F
Q



Вт 
где 

– коэффициент теплоотдачи, физический смысл которого 
следующий: это то количество тепла, которым обмениваются единица 
площади стенки с жидкостью при единичной разности температур стенки 
и жидкости. 
Теплоотдача является сложным процессом. Коэффициент 

зависит 
от большого количества факторов, и основная сложность исследования 
конвективного теплообмена заключается в определении коэффициента 
теплоотдачи 

. 
В общем случае 

 может изменяться вдоль поверхности теплообмена 
и поэтому используют средний по поверхности коэффициент теплоотдачи 
и локальный или местный коэффициент теплоотдачи, соответствующий 
единичному элементу поверхности. 
Различают свободную (естественную) конвекцию и вынужденную. 
При свободной конвекции газ движется за счет разности плотностей 
нагретых и холодных частиц жидкости, во втором – за счет внешних сил 
(насос, вентиляция и т.п.). 
Интенсивность процесса теплоотдачи существенно зависит от режима 
течения жидкости. Как известно, имеются два основных режима течения: 
ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме течение имеет 
спокойный, струйчатый характер. При турбулентном – движение 

---

97 
неупорядоченное, вихревое. Изменение режима движения происходит при 
некоторой «критической» скорости. 
В результате исследований О. Рейнольдс в 1883 г. установил, что в 
общем случае режим течения жидкости определяется не только скоростью, 
а особым безразмерным комплексом, названным числом или критерием 
Рейнольдса 

Vl

Re
где 
V
- скорость; 
l
- определяющий размер; 







с
м
2



- коэффициент 
кинематической вязкости. 
Переход от ламинарного режима к турбулентному происходит при 
2300
Re
Re


крит
(в трубах). 
Процесс передачи тепла различен в зависимости от режима течения. 
При ламинарном режиме тепловой поток (количество тепла) передается 
теплопроводностью через слой жидкости. При турбулентном режиме такой 
способ переноса тепла сохраняется лишь в вязком подслое, а внутри 
турбулентного ядра перенос осуществляется путем интенсивного 
перемешивания частиц жидкости. В этих условиях интенсивность 
теплоотдачи в основном определяется термическим сопротивлением 
пристенного (пограничного) слоя, которое по сравнению с термическим 
сопротивлением ядра оказывается определяющим. В этом легко убедиться 
экспериментально (см. рис. 3.4). 
Рисунок 3.4 Изменение температур в пределах тонкого слоя 
Как видно из рисунка 2.4, изменение температуры происходит в 
пределах тонкого слоя у поверхности, через который тепло передается 
путем теплопроводности. Следовательно, как для ламинарного, так и для 
турбулентного режима течения вблизи самой поверхности применим закон 
Фурье: 
gradt
q



или 

 

ж
C
ж
C
ж
t
t
t
t
q








---

98 



ж

, где 

- эффективная толщина пограничного слоя. 
Коэффициент теплоотдачи а является сложной функцией различных 
величин. В общем случае 


i
ж
ж
ж
C
l
Ф
С
t
t
,
,
,
,
,
,
,
,







Коэффициент 
теплоотдачи 
определяют, 
главным 
образом, 
экспериментально, а результаты обобщаются на основе теории теплового 
подобия. 
Из теории подобия следует, что протекание сложных процессов 
определяется не отдельными физическими величинами, а безмерными 
соотношениями из этих величин. Из опыта известно, например, что режим 
течения зависит от рода, температуры и скорости жидкости, а также от 
размеров трубы. А из теории следует, что режим течения определяется 
полностью значением числа Re. 
Из критериев подобия составляются критериальные уравнения, 
которые полностью описывают рассматриваемый процесс. Сами же 
критерии устанавливаются на основе анализа уравнений, описывающих 
данный процесс. Например, уравнениями конвективного теплообмена 
являются уравнения теплоотдачи, энергии, движения, неразрывности. 
Наиболее часто мы будем встречаться со следующими критериями: 
.
Pr
,
Re,
,
Gr
Nu


l
Nu

- характеризует теплообмен на границе стенка – жидкость и 
является обычно искомой величиной, поскольку в него входит 

. 

l
v
Re

- характеризует режим движения и показывает соотношение 
сил инерции и вязкости (трения). 
2
0
3
)
(


t
t
l
g
Gr
c


- характеризует подъемную силу, возникающую в 
жидкости вследствие разности плотностей. 



Pr
- является мерой подобия полей скоростей и полей температур. 
В уравнениях приняты следующие обозначения: 
l
- определяющий 
размер, v – скорость, 

— температурный коэффициент объёмного 
расширения теплоносителя, 
c
t
— температура поверхности теплообмена, 
0
t
— температура теплоносителя, 

— коэффициент вязкости, 

— 
температурапроводность. 
В общем случае конвективного теплообмена критериальная 
зависимость имеет вид: 


Pr
,
Re,Gr
f
Nu


---

99 
Остановимся более подробно на том, что означает понятие подобия 
физических явлений, а затем на подобии процессов конвективного 
теплообмена. 
Основные положения теории подобия следующие: 
1. Подобны те явления, которые имеют одинаковое физическое 
содержание и описываются одинаковыми математическими выражениями. 
2. Второй признак – геометрическое подобие. 
3. При анализе подобных явлений составлять можно только 
однородные величины и только в сходственные моменты времени. 
Однородными величинами называются также величины, которые имеют 
один и тот же физический смысл и одинаковую размерность. Два 
промежутка времени называются сходственными, если они имеют общее 
начало отсчета. 
4. Подобие 
двух явлений означает подобие всех величин, 
характеризующих рассматриваемое явление. 
Для процессов конвективного теплообмена различают условия 
подобия при естественной и вынужденной конвекции. 
При естественной конвекции будут подобны те процессы, которые 
протекают в геометрически подобных системах, а так же для них должны 
быть подобны температурные поля на поверхностях теплообмена. При 
выполнении этих условий необходимо, чтобы определяющие критерии 
Gr
и 
Pr
численно были одинаковы, т.е. 
idem
idem
Gr


Pr
,
И, следовательно, и 
idem
Nu

. 
Уравнение подобия или критериальное уравнение процессов 
теплообмена при свободной конвекции имеет вид 


Pr
,
Gr
f
Nu

При вынужденной конвекции будут подобны те процессы, которые 
протекают в геометрически подобных системах и у них подобны поля 
скоростей, температур и давлений во входном или начальном сечении. При 
выполнении этих условий два процесса будут подобны, если 
определяющие критерии 
Re
и 
Pr
численно одинаковы, т.е. 
idem
idem


Pr
,
Re
И, следовательно, и 
idem
Nu

. 
Уравнение подобия при вынужденной конвекции запишется в виде 


Pr
Re,
f
Nu

При постановке любого эксперимента необходимо знать заранее: 
какие величины надо измерять в опыте; 
как обрабатывать результаты опытов; 
какие явления подобны изучаемому, т.е. на какие явления можно 
распространить результаты опытов. 
На эти вопросы отвечает теория подобия следующим образом: 

---

100 
В опытах нужно измерять все те величины, которые содержаться в 
критериях подобия изучаемого процесса. 
Результаты опытов необходимо обрабатывать в критериях подобия и 
зависимости между ними представлять в виде критериальных уравнений. 
Результаты опытов можно распространить на подобные явления, т.е. 
на качественно одинаковые явления, имеющие подобные условия 
однозначности и численно равные определяющие критерии. 
Теория подобия формально позволяет уменьшить число переменных, 
от которых зависит изучаемое явление, а это существенно облегчает 
постановку и проведение эксперимента.