Доказать следующую равносильность:
Доказательство:
По определению
(*)
1)Предположим, что
Тогда по определению (*),
– опровержимый, т.е.
-предмет, при котором . Получаем
,
Т.к. , что , то - доказуемый предикат, т.е.
Тогда при
Следовательно
При
2) Предположим, что
Тогда по определению (*),
– тождественно истинный, т.е.
-предмет, при котором . Получаем
Если , то значение c не важно
Если c=1, то значение не важно
Т.к. , что , то - доказуемый предикат, т.е.
Тогда при
Следовательно
При
Доказать следующую равносильность:
1.
Законы де Моргана для кванторов
Доказательство.
Данная формула замкнута, т.е. не имеет свободных предметных переменных. Поэтому подставим в эту формулу вместо предикатной переменной любой конкретный одноместный предикат , определенный на некотором множестве М=>получим высказывание
(*)
-тавтология
Для доказательства его истинности (*) нужно убедиться, что обе части эквивалентности одновременно истинны или одновременно ложны. В самом деле, высказывание истинно тогда и только тогда, когда высказывание ложно, что возможно, на основании определения, тогда и только тогда, когда предикат -опровержим:
Далее, опровержимость предиката означает выполнимость предиката , что равносильно истинности высказывания (по определению)
Итак, высказывание истинно тогда и только тогда, когда высказывание истинно. Следовательно, высказывание (*) истинно, что и доказывает тождественную истинность первой формулы.
Do'stlaringiz bilan baham: |
