Учебное пособие Владивосток Издательский дом Дальневосточного федерального университета 2013 ббк 22. 12 К 93

§ 2. Классификация предикатов

Определение. Предикат , заданный на множествах называется:

1. 
   Тождественно-истинным, если при любой подстановке вместо переменных любых конкретных предметов из множеств соответственно он превращается в истинное высказывание ;
   
2. 
   Тождественно-ложным, если при любой подстановке вместо переменных , любых конкретных предметов из множеств соответственно он превращается в ложное высказывание;
   
3. 
   Выполнимым (опровержимым), если существует по крайней мере один набор конкретных предметов из множеств соответственно, при подстановке которого вместо соответствующих предметных переменных в предикат он превращается в истинное (ложное) высказывание .
   

Примеры:

1. 
   Одноместный предикат «Город x расположен на берегу реки Волги».
   

Определен на множестве названий городов, является выполнимым.

2. 
   Одноместный предикат « » определен на множестве R, тождественно истинный.
   
3. 
   Двухместный предикат « » задан на множестве R, тождественно ложный.
   

Утверждения:

1. 
   Любой тождественно-истинный предикат является выполнимым, обратное неверно.
   
2. 
   Любой тождественно-ложный является опровержимым, обратное неверно.
   
3. 
   Любой не тождественно-истинный предикат будет опровержимым.
   
4. 
   Любой не тождественно-ложный предикат будет выполнимым.
   

§ 3. Множество истинности предиката

Определение. Множеством истинности предиката , заданного на множествах называется совокупность всех упорядоченных n-систем (n-арок) ,> в которых , таких, что данный предикат обращается в истинное высказывание при подстановке . Это множество будем обозначать P⁺.
Таким образом, P⁺ = {< }

Множество истинности n-местного предиката представляет собой n-арное отношение между элементами множеств _.
Пусть P(x) – одноместный предикат, M – область определения предиката P(x). множество истинности предиката
То есть является подмножеством множества M: .