Учебное пособие Владивосток Издательский дом Дальневосточного федерального университета 2013 ббк 22. 12 К 93

Квантор существования

Определение. Операцией связывания квантором существования называется правило, по которому любому одноместному предикату P(x), определенному на множестве M, сопоставляется высказывание, обозначаемое , которое ложно в том и только том случае, когда P(x) – тождественно ложен и истинно в противном случае:

- квантор существования по переменной

Пример

Имеем два одноместных предиката определенных на множестве N: и
Первый предикат – тождественно ложный, следовательно –ложное высказывание.
Второй предикат – выполнимый, следовательно – истинное высказывание.

Замечание

Если одноместный предикат P(x) задан на конечном множестве то высказывание эквивалентно дизъюнкции .
Действительно, по определению – высказывание имеет значение 0 (т.е. ложно), если P(x) – тождественно ложный предикат, т.е. любое из высказываний , в которое может превратиться предикат, ложно. А это означает ложность дизъюнкции .
В выражении , так же как и в , переменная x перестает быть переменной в обычном смысле слова: это – связанная переменная.

Предикат от n переменных и квантор существования

Определение. Операцией связывания квантором существования по переменной называется правило, по которому каждому n-местному предикату (n≥2) , определенному на множествах , сопоставляется новый (n-1)-местный предикат, обозначаемый , который для любых предметов , превращается в высказывание , ложное тогда и только тогда, когда одноместный предикат , определенный на множестве тождественно ложен и истинен в противоположном случае, то есть:

Пример 1. Двухместный предикат , определенный на R. Применим к нему квантор существования по переменной x.
Получим одноместный предикат , зависящий от переменной y. Этот предикат превращается в истинное высказывание, если вместо него подставить конкретное число , т.е. является тождественно истинным предикатом.
Пример 2. Двухместный предикат , определенный на R. Применение квантора существования по любой переменной даст одноместный предикат, который будет тождественно ложным: