Учебное пособие Владивосток Издательский дом Дальневосточного федерального университета 2013 ббк 22. 12 К 93

§ 6. Кванторные операции над предикатами

Квантор общности.

Определение. Операцией связывания квантором общности называется правило, по которому каждому одноместному предикату P(x), определенному на множестве M, сопоставляется высказывание, обозначаемое , (читается: для всякого значения x P(x) истинное высказывание), которое истинно в том и только том случае, когда предикат P(x) тождественно истинен и ложно в противоположном случае:

Символ – квантор общности по переменной x.

Примеры:

Рассмотрим одноместные предикаты на множестве N: и .
Первый предикат – тождественно истинный, следовательно - истинное высказывание.
Второй предикат – опровержимый, следовательно – ложное высказывание.
В выражении вместо x нельзя ничего подставлять. Говорят, что переменная x – связанная.
В математике переменные могут быть связаны не только квантором.
Связанные переменные в следующих выражениях:

Любое из этих выражений не зависит от связанных переменных.

Замечание. Если одноместный предикат P(x) задан на конечном множестве , тогда высказывание эквивалентно конъюнкции
.

Предикат от n переменных и квантор общности

Определение. Операцией связывания квантором общности по переменной называется правило, по которому любому n-местному предикату , определенному на множествах , сопоставляется новый (n-1)-местный предикат, обозначаемый , который для любых предметов , превращается в высказывание , истинное в том и только том случае, когда одноместный предикат , определенный на множестве тождественно истинен и ложное в противоположном случае, то есть:

Пример. Рассмотрим двухместный предикат , определенный на множестве N. Применим к нему квантор общности по переменной x. Получим одноместный предикат , зависящий от переменной y. Этот предикат может превратиться в истинное высказывание при y=1 и в ложное – при y ≠ 1.
Замечание. К (n-1)-местному предикату , зависящему от переменных , можно снова применить операцию связывания квантором общности по любой свободной переменной. В результате получится (n-2)-местный предикат.
Например, применим к одноместному предикату квантор общности по переменной y и получим нульместный предикат, т.е. высказывание: . Полученное высказывание ложно, т.к. опровержимый предикат от переменной y.
Замечание. Любое высказывание можно рассматривать как предикат, содержащий нуль предметных переменных, т.е. как нульместный предикат.