Учебное пособие Владивосток Издательский дом Дальневосточного федерального университета 2013 ббк 22. 12 К 93

Примеры:

, отрицанием одноместного предиката является , определенного на множестве R.
, .
Теорема. Для n-местного предиката , определенного на множествах , множество истинности его отрицания совпадает с дополнением множества истинности данного предиката: . Дополнение рассматривается в множествах , то есть .

Доказательство

Согласно определению:

Следствие. Отрицание предиката будет тождественно истинным тогда и только тогда, когда исходный предикат будет тождественно ложным.

Доказательство

– тождественно истинный предикат, определен на множествах , тогда .
По теореме имеем:
.
Отсюда .
Так как если , то , значит предикат тождественно ложен.

Примеры:

есть любой из равносильных ( ) предикатов:

– тождественнно истинный предикат, задан на множестве R.
Отрицание предиката также определенного на R:
и т.д.

Конъюнкция двух предикатов

Определение. Конъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x) называется новый предикат P(x)&Q(x), который принимает значение истина при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение «истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.
Пример 1. Конъюнкцией двух одноместных предикатов и определенных на R, будет одноместный предикат , который может быть записан: , который равносилен предикату
Пример 2. Конъюнкция двух одноместных предикатов и , заданных на R, является двухместный предикат , заданный на R, равносилен предикату , определенному на R.
Теорема. Для n-местных предикатов и , определенных на множествах , множество истинности конъюнкции совпадает с пересечением множеств истинности исходных предикатов:

Доказательство:



Следствие. Конъюнкция двух предикатов тождественно истинна тогда и только тогда, когда оба данных предиката тождественно истинны.