Учебное пособие Воронеж 2005 А. С. Кольцов Е. Д. Федорков Геометрическое моделирование в сапр

13.2.2. АНАЛИЗ АЛГОРИТМА КАСТЕЛЬЖО ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЙ
Приведенные выражения для квадратичной параболы легко обобщаются на случай произвольной пространственной кривой -го порядка.
Пусть - произвольные точки в пространстве , . Тогда для параболы -го порядка запишем

( 8 )

Отметим, что . Значение определяет точку со значением параметра на кривой Безье .
Ломаная , образованная отрезками прямых, соединяющих точки , называется ломаной Безье, или управляющей ломаной кривой . Соответственно, вершины ломаной называются управляющими точками, или точками Безье.
На рис. 6 показано определение точки на кубической кривой Безье с помощью алгоритма Кастельжо.

Рис. 13.6. Построение точки на кубической кривой с использованием повторяющейся линейной интерполяции
Промежуточные точки удобно записывать, используя схему Кастельжо, т.е. в виде треугольного массива.
Например, для кубической кривой схема Кастельжо выглядит следующим образом:

Произвольную точку кривой также можно вычислить с помощью полиномов Бернштейна:

( 9 )

Важно, что в случае это уравнение дает точку на кривой:
.
13.2.3. ОБОБЩЁННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ТРЕУГОЛЬНОЙ ПОРЦИИ ПОВЕРХНОСТИ
Для определения точки, инцидентной треугольной порции поверхности, с заданными барицентрическими координатами используем обобщение линейной интерполяции для произвольной кривой -го порядка.
Дано: характеристический многогранник треугольной порции поверхности и точка в пространстве , заданная барицентрическими координатами .