Учебное пособие Воронеж 2005 А. С. Кольцов Е. Д. Федорков Геометрическое моделирование в сапр

14.2.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

Так же, как и для случая первой производной, введем итерационный оператор разностей , определяемый с помощью выражения

( 16 )

Пример
.
Стоящие в правой части выражения ( 16 ) члены представляют собой биномиальные коэффициенты, которые представляются в общем виде с помощью выражения

.

( 17 )

Тогда формула для вычисления -ой производной кривой Безье запишется как

.

( 18 )

Доказательство формулы ( 18 ) очевидно и вытекает из многократного дифференцирования ( 15 ).
Запишем два важных частных случая формулы ( 18 ) для и :

( 19 )

и

.

( 20 )

С

ледовательно, -ая производная кривой Безье в крайних точках дуги зависит только от ближайших управляющих точек, включая саму крайнюю точку. Для очевидно, что векторы и определяют касательную в точке с параметром . В общем случае касательная в точке определяется вектором и первым вектором , отличным от . Таким образом, касательная в точке может быть определена даже в том случае, если касательный вектор равен нулю. Для другого конца дуги рассуждения аналогичны. На рис. 14.3 показаны примеры определения векторов первой и второй производных в начальной точке дуги кривой .
Рис. 14.3. - Определение векторов первой и второй производных