Учебное пособие Воронеж 2005 А. С. Кольцов Е. Д. Федорков Геометрическое моделирование в сапр

14.3. МЕТОДЫ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ДВУМЕРНЫХ ОБВОДОВ

Вышерассмотренные методы достаточно просто обобщаются на случай аппроксимации двумерных обводов. Для конструирования криволинейных поверхностей с помощью стандартных параметрических полиномов, полиномов Бернштейна и NURBS в современных системах геометрического моделирования применяют три основных метода:

• 
  тензорного произведения (tensor product surfaces);
  
• 
  каркасный (lofting surfaces);
  
• 
  булевой суммы (transfinite method).
  

Рассмотрим возможности этих методов, взяв в качестве базового геометрического описания рациональные параметрические кривые Безье (частный случай NURBS).

1. 
   МЕТОД ТЕНЗОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
   

По заданному массиву рациональная поверхность определяется уравнением

где - полиномы Бернштейна;
- весовые коэффициенты ( ).
В случае, если все весовые коэффициенты равны между собой, уравнение описывает интегральную поверхность Безье.
Параметрические уравнения, определяющие рациональную поверхность Безье, часто записывают в матричной форме [12]:

где - матрица управляющих точек с весами;
- матрица весов;
- матрица параметра ;
- матрица параметра ;
- матрица коэффициентов.
Основные свойства рациональных поверхностей Безье:

1. 
   Поверхность полностью определяется набором вершин характеристической сетки .
   
2. 
   Поверхность лежит в выпуклой оболочке точек .
   
3. 
   Самой поверхности в общем случае принадлежат только четыре угловые точки сетки. В этих точках касательные плоскости поверхности совпадают с плоскостями угловых граней характеристической сетки.
   
4. 
   Граничными кривыми порции поверхности являются рациональные кривые, управляемые набором точек и соответствующих весов.
   
5. 
   Рациональная поверхность Безье аффинно- и проективно-инвариантна.
   
6. 
   Формой поверхности можно управлять подбором вершин характеристической сетки и соответствующих весовых коэффициентов.
   

2. 
   КАРКАСНЫЙ МЕТОД
   

С помощью этого метода поверхность определяется семейством кривых. Уравнение поверхности записывается в виде:

или