Учебное пособие Воронеж 2005 А. С. Кольцов Е. Д. Федорков Геометрическое моделирование в сапр

14.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ ПОЛИНОМОВ БЕРНШТЕЙНА
14.2.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

Возьмем производную полинома Бернштейна -го порядка:

Таким образом, окончательно получаем формулу для вычисления первой производной полиномов Бернштейна:

.

( 13 )

Тогда для кривой Безье формула первой производной имеет вид
.
Так как для , то

и
.
Окончательно получаем формулу для вычисления первой производной кривой Безье:
.
Форму записи последней формулы можно упростить, если использовать оператор разности :

.

( 14 )

Тогда формула первой производной принимает вид

.

( 15 )

С геометрической точки зрения, производной кривой Безье является другая кривая Безье , векторы управляющих точек которой определяются вычислением разностей векторов управляющих точек исходной кривой. Кривая первой производной иногда называется первым годографом кривой Безье. Векторы характеристической ломаной годографа определяются следующим образом (см. рис. 14.2):
.
Начальный вектор выбирается произвольно, в ряде случаев удобно выбрать .

Рис. 14.2. Кубическая кривая Безье и ее первый годограф