University of economics and pedagogy

N'yuton usuli. x* nuqta f(x) funksiyaga minimum beruvchi nuqta bo‘lishi uchun shu nuqtada berilgan funksiyaning gradienti nolga teng bo‘lishi kerak, ya'ni

Shunday qilib, f(x) funksiyaga minimum beruvchi nuqta mavjud bo‘lsa, u nuqta quyidagi

tenlamaning yechimlari orasidan topiladi. Faraz qilaylik x₁ nuqta (x)=0 tenglamaning taqribiy yechimi bo‘lsin. (x) funksiyani (x- x₁) nuqta atrofida yoyamiz va undan iikita qo‘shiluvchi bilan chegaralanib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
va .
munosabatni hosil qilamiz. Maqsad х₁, х₂,…,х_k ... yaqinlashuvchi ketma-ketliklarni topishdan iborat ekanligidan foydalanib, bu formulani quyidagicha rekurrent formula orqali yozamiz:
yoki
Bu formula N'yuton formulasi deyiladi.
N'yuton usuli bo‘yicha hisoblash oldindan berilgan aniqlik >0 son uchun
|x_k - x_k-1| ≤ 
tengsizlik bajarilgunga qadar davom etadi.
Misol. x²-5=0 tenglamaning musbat yechimi =0,00001 aniqlikda N'yuton usuli bilan topilsin.
Yechish. Berilgan tenglamanieng yechimi 2 bilan 2,5 orasida bo‘lgani uchun dastlabki nolinchi yechim deb x₀=2 ni olamiz. Berilgan misolda (x)=x²-5 bo‘lgani uchun ^э(x)=2x² .
Demak, unda N'yuton formulasi quyidagicha bo‘ladi:

x₀=2 bo‘lgani uchun
,
, |x₃ - x₂|=|2,23605 -2,2361| ≤ 
Demak, berilgan tenglamaning =0,00001 aniqlikdagi yechimi x^*=2,2361 ekan.


Chiziqsiz tenglamalar tizimini yechish uchun N'yuton usuli.
N'yuton usuli chiziqsiz tenglamalar tizimi uchun quyidagicha yoziladi.

Bu yerda
; ;


matritsa Yakobi matritsasi deyiladi.
N'yuton usulining modifikatsiyalangan varianti ham mavjud bo‘lib, unda
funksiyaning hosilalaridan tuzilgan matritsa elementlari faqat dastlabki taqribiy yechim bo‘lgan nuqtalarda hisoblanadi. Bu esa arifmetik hisoblashlarni birmuncha kamaytiradi. U holda modifikatsiyalangan N'yuton usulini quyidagicha yozish mumkin.

Lekin bu modifikatsiyalangan usulda aniq yechimga yaqinlashish tezligi sekinroq bo‘ladi.
M i s o l. Boshlang‘ich taqribiy yechim bo‘lganda

tenlamalar tizimining taqribiy yechimi N'yuton usulida hisoblansin.
Yechish: Bu yerda
; ;
N'yuton formulasiga asosan

Demak, . Endi lardan foydalanib larni hisoblaymiz. Unda
; ;
N'yuton formulasiga asosan lar hisoblansa mos ravishda quyidagiga teng bo‘ladi

Xuddi shu yo‘l bilan larni topsak,

bo‘ladi. Agar uchinchi taqribiy yechim bilan chegaralansak, berilgan tizimning yechimini deb qabul qilamiz.