University of economics and pedagogy

3.Lagranj aniqmas ko‘paytuvchilar usuli
Faraz qilaylik, bizga ushbu
f(x₁, x₂, …, x_n)
chiziqsiz funksiyaning quyidagi
g(x₁, x₂, …, x_n)=0, i=1,2,…,m
tenglamalar tizimini qanoatlantiruvchi minimumini topish talab qilingan bo‘lsin.
Quyidagi

yoki qisqacha

fnksiyani tuzamiz. Bu funksiya Lagranj funksiyasi deyiladi. Lagranj aniqmas ko‘paytuvchilari deyiladi. Agar ₀=1 bo‘lsa Lagranj funksiyasi Lagranjning normal funksiyasi deyiladi.
Logranj funksiyasidan x_j ,j=1,2,..,n ва x_i ,i=1,2,..,m o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy hosilalar olib nolga tenglashtirsak, quyidagi tenglamalar tizimini hosil qilamiz.

Bu tenglamalar tizimini vektor formada yozamiz

Shunday qilib, biz Lagranj usuli bilan n noma'lumli m+1 tenglamalar tizimini n+m
noma'lumli n+m tenglamalar tizimiga keltirdik, yoki boshqacha qilib aytganda berilgan shartli minimallash masalasini shartsiz minimallash masalasiga keltirdik.
Oxirgi tizimni qanoatlantiradigan X₀ nuqtaga normal minimum nuqta, qo‘yilgan masalaga esa normal shartli minimallash masalasi deyiladi. nuqtaga –qo‘yilgan masalaning yechimi yoki Lagranj funksiyasining statsionar (kritik) nuqtasi deyiladi.
4. Shartli optimallash masalasini yechish algoritmi
Ma'lumki optimallash masalasi umumiy holda quyidagicha yoziladi:
F=f(x_j)→max
g_i(x_j)B_i
d_jx_j D_j i=1,2,…,m; j=1,2,…,n
Biz bilamizki bu masala shartli optimallash masalasidir.
Bu masalani yechishning bir qator usullari mavjud. Ma’lumki Lagranjning aniqmas ko‘paytuvchilar usulining asosiy g‘oyasi shartli optimallash masalasini shartsiz optimallash masalasiga keltirish bo‘lib, u quyidagicha amalga oshiriladi:
1.Chegaralanish tengsizligi tenglamaga o‘zgartiriladi
V_i(x_j)=g_i(x_j)-B_i , i=1,2,…,m; j=1,2,…,n
2.Chegaralanish quyidagicha yoziladi
V_i(x_j)=0, i=1,2,…,m; j=1,2,…,n
Xuddi shunday chegaraviy shartlar ham o‘zgartiriladi.
U holda shartli optimallash masalasi quyidagicha bo‘ladi.
F=f(x_j)→max
V_i(x_j)=0, i=1,2,…,m; j=1,2,…,n
3.Masala Lagranj funksiyasi ko‘rinishida tasvirlanadi.

bu yerda _i - Lagranj ko‘paytuvchisi.
4.Xususiy hosilalarni aniqlash va tenlamalar tizimini tuzish

5.Bu tizimni _i larga nisbatan echish.
6.Topilgan _i qiymatlarini Lagranj fuksiyasiga qo‘yish va shartsiz optimallash masalasiga kelish.
7.Olingan shartsiz optimallash masalasini yuqorida berilgan N'yuton usulida yechish.
Misol. Quyidagi shartli optimallash masalasini Lagranj ko‘paytuvchilari usulida shartsiz optimallash masalasiga keltiring.

1.Tizimni quyidagi formada yozamiz

Masalaning grafik interpritatsiyasi quyidagi 5.2 rasmda keltirilgan

5.2 rasm

2.Lagranj funksiyasini tuzamiz

3.Tenglamalar tizimini yozamiz

4.Tenglamalar tizimini yechib ₁ ni topamiz

5.Topilgan ₁ qiymatni Lagranj funksiyasiga qo‘yamiz

Shunday qilib shartli optimallash masalasini shartsiz optimallash masalasiga keltirdik.