Уравнения

Метод вариации произвольных постоянных

y_{O.H .}  c₁ (x) y₁  c₂ (x) y₂ , если y₁ и y₂ - частные решения ОЛДУ и


_c₁^y₁  c₂^ y₂  0,
^c^y^  c^ y^  f (x).
 1 1 2 2

3. Принцип суперпозиции

Если
f (x) 

f₁ (x) 
f₂ (x)  ... 
f_n (x) , то
y  y^%1  y^%2  ...  y^%n .

4. НЛДУ высших порядков

y⁽ⁿ⁾  a y^(n1)  ...  a y  f (x), a (i  1, 2,..., n) ,
f (x)
– непрерывные функ-
1 n i
ции или постоянные. Пусть известно общее решение
y  c₁ y₁  c₂ y₂  ...  c_n y_n
соответствующего ОЛДУ:
y ⁽ⁿ⁾  a y ^(n1)  ...  a y  0 .
1 n

1. Метод вариации произвольных постоянных

Общее решение НЛДУ имеет вид
y  c₁ (x) y₁  c₂ (x) y₂  ...  c_n (x) y_n , где
y_i (i =1,2,…, n) – частные решения ОЛДУ, а
c_i  c_i (x)
(i =1,2,…, n) –
функции, производные которых удовлетворяют системе уравнений:


^c₁^y₁  c₂^ y₂  ...  c_n^ y_n  0,
^c^y^  c^ y^  ...  c^ y^  0,
 1 1 2 2 n n

_..............................................
^c^y ^(n2)  c^ y ^(n2)  ...  c^ y ^(n2)  0,
(*)
_ 1 1 2 2 n n
^c^y ^(n1)  c^ y ^(n1)  ...  c^ y ^(n1) 
f (x),
 1 1 2 2 n n

т.е. являются решением этой системы {c₁^(x),c^₂ (x),...,c^_n (x)} при

  W _ y₁, y₂ ,..., y_{n }  0 для линейно независимых частных решений
y₁, y₂ ,..., y_n
и имеют вид:
^c₁ (x)  _c₁^dx  c^%1,




^c₂ (x)  _c₂^dx  c^%₂ ,
^...............................

c (x) 
c^dx  c^% .

Доказательство:

_ _n
 n n
Продифференцируем у n раз, учитывая (*):
y  c₁ y₁  c₂ y₂  ...  c_n y_n ,
y^  c₁ y₁^  c₂ y₂^  ...  c_n y_n^ ,
(остальные члены равны нулю из первого уравнения системы для


_y(n1) _{ c y} (n1) _{ c y} (n1) _{ ...  c y} (n1) _,
c_i^ (*)).
1 1 2 2 n n


y⁽ⁿ⁾  c y ⁽ⁿ⁾  c y ⁽ⁿ⁾  ...  c y ⁽ⁿ⁾ 
f (x) .
1 1 2 2 n n

Умножим полученные выражения для производных на коэффициенты a_i

(i  1, 2,..., n)
и сложим их почленно. Суммы по вертикальным столбцам
равны нулю, так как
y₁, y₂ ,..., y_n

• 
  частные решения ОЛДУ, ненулевыми
  

остаются слагаемые
y^{% (n)}  a y^{% (n1)}  ...  a y^% 
f (x) , значит y^% - решение
НЛДУ.
Пример:
1


Найдите решение НЛДУ Решение:
y^  y^ 
n

1 _.

sin x

1. 
   Найдем частные решения ОЛДУ:
   

1
y^  y^  0 , k ³  k  0 , k  0 , k

2,3

 i .
Значит,
y₁  1 , y₂  cos x,
y₃  sin x .

2. 
   Установим вид
   

y_O.O.  y :
y  c₁  c₂ cos x  c₃ sin x .

3. 
   Запишем вид
   

^yO.H . ^:
y  c₁ (x)  c₂ (x) cos x  c₃ (x) sin x .

4. 
   Составим систему уравнений для определения c_i^( x) :
   


^c₁^ 1 c₂^ cos x  c₃^ sin x  0,

_ c₂^ sin x  c₃^ cos x  0,


 c^ cos x  c^ sin x  ¹ .
 ^{2 3} sin x
Решением этой системы являются: c^  ¹ , c^  ^{cos x} , c^  1.
¹ sin x ² sin x ³

5. 
   Найдем c (x) : c (x)  ^dx  ln tg ^x  c ,
   

^{i 1 } sin x 2 ¹
c (x)   ^{cos x} dx  ln sin x  c ,

c (x)  x  c .
^{2 } sin x
2 3 3

6. 
   Запишем решение:
   

y  ln tg

• 
  ^{c } ^{ ln | sin x | c} ^{cos x } ^{x  c} ^{sin x }
  

1 2 3

 ln

tg ^x  cos x ln | sin x | x sin x  c  c cos x  c

sin x.

₂ 1 2 3

13. 4.2. Метод неопределенных коэффициентов

Частное решение НЛДУ y^% может быть найдено методом неопределен-
ных коэффициентов для некоторых видов функции
f (x)
в правой части
уравнения и корней характеристического уравнения его левой части.
Рассмотрим следующие случаи:

1. 
   f _ x_  P _ x_e^x
   

1). Если  не является корнем характеристического уравнения, то частное
решение ищем в виде ^%y  R _ x_e^x , где R _ x_ - многочлен с неизвестными ко-
эффициентами, степень которого совпадает со степенью P _ x_;

2). Если  корень кратности  характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде ^%y  x^ R _ x_e^x .

Пример:


y^IV  y  x³ 1 .
Характеристическое уравнение k ⁴  1  0, k ⁴  1 , k  1, k
 1, k  i, k
 i .

Общее решение однородного уравнения:

y  C e^x  C e^x  C cos x  C
1 2 3 4

sin x .

Правая часть уравнения

1 2 3 4
^f  ^x  ^{ x3  1 имеет вид:}

n
^P  ^x ^{ex , где n  3,   0 ,}
корни характеристического уравнения не совпадают с  .
Частное решение ищем в виде:

n
^%y  R
 ^x ^{ex  R}
 x e^0x  _ A x³  A x²  A x  A _,
^%y '  3A x²  2 A x  A ,

3 0 1 2 3 0 1 2
^%y "  6 A x  2 A , ^%y '"  6 A , y ^IV  0,  A x³  A x²  A x  A  x³  1.
0 1 0 0 1 2 3

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получим:

 A  1, A  1, A  0, A  0, A  1,
^%y   x³  1.
0 0 1 2 3
Общее решение: y  C e^x  C e^x  C cos x  C
sin x  x³  1 .
1 2 3 4

2. 
   f _ x_  P _ x_e^x cos  x  R _ x_e^x sin  x
   

1. 
   Если
   

  i
не является корнем характеристического уравнения, то ча-
^{стное решение ищем в виде %y  u}  ^x^{ex cos  x  }  ^x^{ex sin  x , где}
u _ x_,  _ x_ - многочлены, степень которых равна наивысшей степени P _ x _ и
R _ x_.

2. 
   Если
   

  i
является корнем характеристического уравнения кратности
 , то частное решение: ^%y  x^ _^u _ x_e^x cos  x   _ x_e^x sin  x^_ .

5.