Уравнения

Неоднородным линейным дифференциальным уравнением (НЛДУ)

n-го порядка называется ДУ вида:


y⁽ⁿ⁾  a y^(n1)  ...  a y 
f (x) ,
1 n

где a_i

_i  1, 2,..., n_ и
f (x)

• 
  непрерывные функции от х или постоянные,
  

причем правая часть
f (x)  0 .
Линейное ДУ называется однородным (ОЛДУ), если Рассмотрим ОЛДУ второго порядка:
y ^  a₁ y^  a₂ y  0 .
f (x)  0 .

Пусть
y₁  y₁ (x) и

y₂  y₂ (x)

• 
  частные решения ДУ.
  

Два решения ДУ
y₁ и
y₂ называются линейно независимыми, если их
линейная комбинация
c₁ y₁  c₂ y₂  0
лишь в случае
c₁  c₂  0 .
Решения
y₂  cy₁ .
y₁ и
y₂ будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда
Например, функции
y  e^x и
y  3e^x

• 
  линейно зависимы, а функции
  

1

2

1

2
y  e^x и
y  e^x

• 
  линейно независимы.
  

Если
y₁ и
y₂ являются функциями x , то определитель

y₁


W_ y₁, y_{2 } 
y
y

2
_y  y₁ y₂^  y₁^y₂
называется определителем Вронского.
1 2


Если функции y₁ и
x [a,b].
Доказательство:
y₂ линейно зависимы на [a,b] , то
W_y₁, y_{2 }  0 ,
y  y
 y^   y^ и
W_y , y _  ^y1
y_{2 } y₁
 y_{1  } y₁
^y1  0 .
2 1 2 1
^{1 2} y^ y^ y^  y^ y^ y^
1 2 1 1 1 1


Если решения y₁ и
y₂ ДУ линейно независимы на [a,b] , то
W_y₁, y_{2 }  0, x [a,b].
Доказательство: Допустим противное:
W_y₁, y_{2 }  0 , тогда
y₁ y₂^  y₁^y₂  0 . Для


y₁  0:
y y^  y^y
^ y ^ y

1 2 1 2

 0 , т.е.
_ 2 ^ _{ 0 и} 2
 const , что противоречит условию,
y ^{2 y  y}
1
значит, W  0 .
 1  1


Если y₁ и
y₂ - линейно независимые частные решения ОЛДУ второго
порядка
y^  a₁ y^  a₂ y  0 , то общее решение ДУ равно линейной ком-

бинации этих частных решений стоянные.

Доказательство:
y  c₁ y₁  c₂ y₂ , где
c₁,c₂

• 
  произвольные по-
  

y₁^ a₁ y₁^  a₂ y₁  0, y₂^  a₁ y₂^  a₂ y₂  0 .
Подставим решение в виде y  c₁ y₁  c₂ y₂
в исходное уравнение:
_c y  c y _^  a _c y  c y _^  a _c y  c y _ 
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

 c_{1 } y₁^ a₁ y₁^  a₂ y_{1 }  c_{2 } y₂^  a₁ y₂^  a₂ y_{2 }  c₁  0  c₂  0  0 ,

значит, янных.

y  c₁ y₁  c₂ y₂

• 
  общее решение ОЛДУ при любом выборе посто-
  

Если известно одно частное решение ОЛДУ 2-го порядка
y₁ , то второе
частное решение, линейно независимое с первым, находится интегриро- ванием линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) первого поряд- ка.
Доказательство:
Пусть y^  a₁ y^  a₂ y  0 ; y₁ - частное решение, значит,
y₁^ a₁ y₁^  a₂ y₁  0 . Второе частное решение ищем в виде y₂  u(x) y₁ , где
u(x) - неизвестная функция.
Подставим y₂ в ДУ: _ y₁^ a₁ y₁^  a₂ y_{1 }  u  y₁u ^  _2 y₁^  a₁ y_{1 }u^  0 ,
y₁u^  _2 y₁^  a₁ y_{1 }u^  0 . Заменой u^  p , приходим к ДУ первого порядка
для нахождения функции р: y₁ p^  _2 y₁^  a₁ y_{1 } p  0 , интегрирование ко-
торого позволяет найти функцию
_e_ a₁dx
u(x) и
y₂  u( x) y₁ , т.е.
y₂  y_{1 
2} dx .

y
1

2. Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение

y ^  py^  qy  0 . (*)
Ищем его решение в виде
y  e^kx
(подстановка Эйлера), найдем значения k .
Продифференцируем y :
y^  ke^kx ,
y^  k ²e^kx . Подстановка такого вида реше-
ния в ДУ дает:
k ²e^kx  pke^kx  qe^kx  0 , k ²  pk  q  0 .


Уравнение


k ²  pk  q  0

(**)
называется характеристическим уравнением ОЛДУ для определения

k .
Решения характеристического уравнения имеют вид:
p
k_1,2   ₂  .
Возможны следующие виды решений:
_p2

1. 
   Если
   

D   q  0 , то характеристическое уравнение имеет два действи-
4
тельных различных корня
k₁ и
k₂ ,
k₁  k₂ .
В этом случае ОЛДУ имеет два линейно независимых ( k₁  k₂ ) различных ча-
стных решения y  e^k1x , y  e^{k2 x} . Общее решение ДУ имеет вид:
1 2


k x k x ^p
y  c₁e ¹  c₂e ² , где k_1,2    .
2

2. 
   Если
   

2

p
D   q  0 , то
4
p
k₁  k₂
и характеристическое уравнение имеет ко-

• 
  p _x
  

рень
k  кратности два. Одно частное решение имеет вид:
2
y₁  e ²
. Вто-
рое линейно независимое частное решение ищем в виде:


y₂  y₁  u(x)  e

• 
  ^p x
  

2
 u ,

тогда
^   p x ^

_ p _{x  p  } p _{x }  _{p }




y₂ e ²  u  e
² _  _u  e ² _ u  u _ ,
 ²   ² 


^ 
_ p _{x }
^  <sup>p


</sup>  ^p


_ p _{x }
^  ^p


_  _ p _{x }
^ 
_{ } p^{2 }



y₂ e
² _ u u _
e ² _ u u _ e ² _ u pu u _ .
_ 2 _ 2
_ 2 _{ } 4 _
После подстановки в ОЛДУ и сокращения на

• 
  ^p x
  

_e 2

получим
u^ 

^  ^p2  ^  ^p2  




pu u pu u qu
4 2
0 , и уравнение для u(x)
принимает вид:

 ^

p^{2 }



u  _ q  _{4 }u  0 .
 
В рассматриваемом случае равных корней характеристического уравнения
D  q 
^p  0 , и тогда

2
4
u^  0,
u^  C₁,

• 
  ^p x
  

u  C₁x  C₂ ,
y₂  _
C₁x  C₂

• 
  p _x
  


_e 2
. По-
ложим, C₁  1,
C₂  0 , тогда
y₂  xe ² .
Общее решение ОЛДУ в случае
k₁  k₂  k
имеет вид:
y  e^kx _c  c x_ , где
k   ^p .

1 2


Убедиться в том, что выражение
2

2
y  xe^kx является вторым линейно не-
зависимым решением дифференциального уравнения при условии, что
k  ^p
2
является решением характеристического уравнения, можно не-
посредственной подстановкой.

3. 
   Если
   

2

p
D   q  0 , то характеристическое уравнение имеет два сопря-
4
женных комплексных корня
k  ^p  i
1,2 ₂
, k₁    i,
k₂    i , где


  ^p ,   .
2

Частные решения имеют вид:

_{y  e}( i ) x _{, y  e}( i ) x _.

Общее решение

1 2



1 2 1 2
_{y  c e}( i ) x _{ c e}( i ) x _{ e}x _{c e}i x _{ c e}i x _{ , где}





c₁ и





c₂ - та-
кие комплексные постоянные, что у – действительная функция.
По формуле Эйлера: e^{i x}  cos  x  i sin  x ,
e^{i x}  cos  x  i sin  x , тогда
y  e^{x }_c  c _cos  x  i _c  c _sin  x^ . Полагая c  c  c , i _c  c _  c ,
_ 1 2 1 2 _
1 2 1
1 2 2
c₁,c₂
- действительные постоянные, получим общее решение ОЛДУ в виде
y  e^x
^{c1 cos  x  c2 sin  x}  ^{, где}
k  ^p  i
1,2 ₂
   i  .

4. 
   В частном случае
   

y^   ² y  0 , когда
p  0,
q   ²,
  0 ,
^k1,2
 i , об-
щее решение имеет вид:
y  c₁ cos  x  c₂ sin  x .

3.