Уравнения

Таблица 3. Решение ОЛДУ второго порядка

y^ + py^ + qy = 0, k ² + pk + q = 0

Корни характеристического уравнения	Вид общего решения
p p^2 ^^k1 1. D  0, k  k1,2   2  4  q  k -  2 действительные, разные.	y  c e^k^1^x c e^k^2^x 1 2
2. k  k  k   ^p- 1 2 2 действительные, равные, кратность 2.	y  c  c xe^kx 1 2
p p^2 3. k1,2    i ,    2 ,   q  4 - комплексные.	^y^^e^^x^c^cos^^x^^c^sin^^x 1 2
4. k1,2  i ,   0	y  c1 cos  x  c2 sin  x

4. ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

1 n i
y⁽ⁿ⁾ + a y^(n-1) + ...+ a y = 0, a = const


Функции
₁(x),
₂ (x),...,_n (x)
называются линейно независимыми,
если никакая из них линейно не выражается через другие для всех
x [a,b], т.е. c₁₁  c₂₂  ...  c_n_n  0 , если c_i - постоянные, не все рав- ные нулю.


Если функции
y₁, y₂ ,..., y_n
являются линейно независимыми частными
решениями ОЛДУ n-го порядка, то его общее решение есть
y  c₁ y₁  c₂ y₂  ...  c_n y_n , где c_i

• 
  произвольные постоянные. Число ли-
  

нейно независимых частных решений ДУ равно степени характеристи- ческого уравнения или порядку ОЛДУ. Найдя n частных решений, мож- но записать общее решение ОЛДУ.
Составим характеристическое уравнение ОЛДУ n-го порядка с постоян-
ными коэффициентами:
kⁿ  a k^n1  a k^n2  ...  a
 0 . Найдем его корни
k₁, k₂ ,..., k_n .
1 2 n
В зависимости от корней характеристического уравнения частные ли- нейно независимые решения ОЛДУ имеют разный вид.

1. 
   Каждому действительному однократному корню k соответствует частное
   

решение вида
y  e^kx .

2. 
   Каждому действительному корню k кратности r соответствует r линей- но независимых решений:
   

^ y  e^kx ,
_ 1
 ^y2
 _y
 xe^kx ,
 x²e^kx ,
_ 3
^...................


 ^yr
_{ x}r 1_ekx

3. 
   Каждой паре комплексных корней решения:
   

k_1,2    i
соответствуют два частных
^ y  e^x cos  x,
_ 1
 ^y2
 e^x sin  x.

4. 
   Каждой паре комплексных корней
   

2 частных решений:
k_1,2    i
кратности  соответствует


^ y  e^x cos  x,
_ 1
 ^y2
 xe^x cos  x,
^..........

 ^y

y
 x^1e^x cos  x,
 e^x sin  x,
  1

y

_  2
 xe^x sin  x,
^..........

^_ ^y2 
 x^1e^x sin  x.

5. Таблица 4. ОЛДУ n-го порядка

1 2 n

i
y⁽ⁿ⁾ + a y^(n-1) + a y^(n-2) + ...+ a y = 0 , a


= const ,

1 2 n
kⁿ + a k^n-1 + a k^n-2 + ...+ a =0

Корни характеристического уравнения	Вклад указанных корней в общее решение ДУ
1. Действительные, разные k1  k2  k3  ...  kn	y  c e^k^1^x c e^k^2^x ...  c e^k^n^x 1 2 n
2. Действительные, кратности r  n k1  k2  k3  ...  kr  k	y  c  c x  c x^2  ...  c x^r^^1 e^kx 1 2 3 r
3. Комплексные, разные k1  1  i1, k2  2  i2 ,... ..., kn  n  in , 1  2  ...  n , 1  2  ...  n.	y  e^^1^xc cos  x  c sin  x  1 1 2 1 e^^2^xc cos  x  c sin  x  ...  3 2 4 2 ^^e^^n^x^c^co^s^^x^^c^s^in^^x^. 2n1 n 2n n
4. Комплексные, кратности r  3 k1  k2  k3    i	y  e^^x [ c  c x  c x^2 cos  x  1 2 3 c  c x  c x^2  sin  x ] 4 5 6

6. НЛДУ второго порядка

НЛДУ второго порядка имеет вид: известные функции.

y ^  a₁ y^  a₂ y 
f (x) , где a_i и
f (x) -


Общее решение НЛДУ
^yO.H . ^{ y}
равно сумме общего решения



^yO.O. ^{ y}
соответствующего однородного уравнения
y ^  a₁ y^  a₂ y  0
и частного
решения
y_{Ч .Н .}  y^% данного неоднородного уравнения
y^%  a₁ y^%  a₂ y^%  f (x) , то есть y  y  y^% .
Доказательство:
Для y , y^% справедливо: y ^  a₁ y^  a₂ y  0, y^{% }  a₁ y^%  a₂ y^% 
f (x) . Сложим

1 2
эти уравнения почленно: _ y  y^% _^  a _ y  y^% _^  a y  y  y^% является общим решением НЛДУ.
_ y  y^% _ 
f (x) , значит,

1. Решение НЛДУ второго порядка методом вариации произвольных постоянных

Пусть известно общее решение ОЛДУ

y_O.O.  c₁ y₁  c₂ y₂ , где
c₁,c₂  const . Найдем общее решение НЛДУ методом вариации произвольных
постоянных. Будем искать общее решение НЛДУ в виде
y_{O.H .}  c₁ ( x) y₁  c₂ ( x) y₂ , считая c₁ и c₂
неизвестными функциями x . Найдем
c₁ (x), c₂ (x) . Вычислим производную: y^  c₁ y₁^  c^₁ y₁  c₂ y₂^  c^₂ y₂ . Подберем
c₁ (x) и c₂ (x) так, чтобы c₁^y₁  c^₂ y₂  0 , тогда
y^  c₁ y₁^  c₂ y₂^ , а
y^  c₁ y₁^ c₁^y₁^  c₂ y₂^  c₂^ y₂^ .

Подстановка этих выражений в НЛДУ дает:

_c₁ y₁^ c₁^y₁^  c₂ y₂^  c₂^ y₂^ _  a_{1 }c₁ y₁^  c₂ y₂^ _  a_{2 }c₁ y₁  c₂ y_{2 } 
f (x) ,


c_{1 } y₁^ a₁ y₁^  a₂ y_{1 }  c_{2 } y₂^  a₁ y₂^  a₂ y_{2 }  c₁^y₁^  c₂^ y₂^ 
f (x) .

Выражения в круглых скобках равны нулю, так как y₁ и

y₂ - частные реше-
ния соответствующих ОЛДУ. Значит, c₁^y₁^  c^₂ y₂^ 
f (x) . Получаем, что
y_{O.H .}  c₁ (x) y₁  c₂ (x) y₂ , если
c₁ (x) и
c₂ (x)
удовлетворяют системе:


_c₁^y₁  c₂^ y₂  0,
^c^y^  c^ y^  f (x).
 1 1 2 2

Для линейно независимых функций y₁ и y₂ определитель системы

  W _ y₁, y_{2 }  0 , и можно найти решение системы:
c₁^  ₁(x),
c₂^  ₂ (x) и
искомые функции
c₁ (x)  _₁(x)dx  c^%1,
c₂ (x)  _₂ (x)dx  c^%2 .

2.