Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат

М и с о л : Z = x

y   функциянинг хусусий ва тула орттирмаларини 
топинг. 
Ечими: 
                              

 
x
 Z = (x +

x) y –xy = y

x 
                              

 
y
 Z = x(y +

y) –xy = x

y 
                              

 Z = (x + 

 x) (y + 

y) –xy = y

x + x

y + 

x

y. 
                 2.  Бир  неча  узгарувчили  функциянинг  хусусий 
хосиласи. 
 

ТАЪРИФ:    Z=f (x,y)  функциянинг  х  буйича   хусусий  хосиласи.  
деб , 
хусусий  орттирма     

 
х
  Z    нинг     

x      орттирмага  нисбати       

x      
нолга     интилишидаги лимитига айтилади.  Z = f (x,y) функциянинг   
х    буйича  хусусий  хосиласи  куйидаги  символлар  билан  
белгиланади:                                                                          
x
f
x
Z
y
x
f
Z
x
x




,
),
,
(
'
,
'
 
Таърифга кура  
                              
x
y
x
f
y
x
x
f
x
xZ
x
Z
x
x














)
,
(
)
,
(
lim
lim
0
0
 
 
Шунга  ухшаш      Z  =  f  (x,y)  функциянинг    у    буйича    хусусий  
хосиласи  таърифланади: 
 
                              
y
y
x
f
y
y
x
f
y
yZ
y
Z
y
y














)
,
(
)
,
(
lim
lim
0
0
 
 
М  и  с  о  л  :    Z+x
3
  sin  y  функциянинг  хусусий  хосилаларини 
хисобланг. 
Ечими:    у  узгарувчини узгармас деб туриб  х га нисбатан хусусий 
хосилани топамиз: 
                              
y
x
y
x
x
Z
x
sin
3
)'
sin
(
2
3




 
х  узгарувчини  узгармас  деб  туриб  у  га  нисбатан  хусусий  хосилани 
хисоблаймиз: 
                              
y
x
y
x
y
Z
y
cos
)'
sin
(
3
3




 
Хар  канча  узгарувчили  функцияларнинг  хусусий  хосилалари  хам 
шунга ухшаш топиладики: 
u
 =f (x ,y ,z ,t ) , 
 
                              
t
t
z
y
x
f
t
t
z
y
x
f
t
u
t
u
z
t
z
y
x
f
t
z
z
y
x
f
z
u
Z
u
Z
t
t
Z
z
Z




























)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
lim
lim
,
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
lim
lim
0
0
0
0
 
 
М и с о л :  
u
 =x
3
+y
3
+x

t

z  , 
   
?
 
z
z
    
y
z
    
x
z







,
,
 

                            
xz
t
u
xt
z
u
y
y
u
z
t
x
x
u














,
,
3
,
3
2
2
 
 
Бир  узгарувчили  функция  хосиласининг  геометрик  мазмунига 
ухшаш  икки  узгарувчили  функциянинг  хусусий  хосилаларининг 
геометрик мазмуни мавжуд: 
y
z


 хосиланинг сон киймати  Z=f (x , y) 
сиртни    x=const      текислик  билан  кесганда  хосил  булган  эгри  
чизикка уринма огиш бурчагининг тангенсига тенг. 
Шунингдек     
x
z


    хусусий  хосиланинг  сон  киймати    Z=f  (x  ,y) 
сиртнинг  у=const    текислик  билан  кесимига  уринманинг  огиш 
бурчаги тангенсига тенг. 
 
 
                        3. Мураккаб функциянинг хосиласи.Тула хосила. 
 
Ушбу    Z=  f  (u    v)  тенгламада    u  ва  v    микдорлар  х,у    эркли 
узгарувчиларнинг функциялари  
)
,
(
),
,
(
y
x
V
y
x
u




      булсин. Бу 
холда  Z  функция  x ва  y тенг мураккаб функцияси дейилади. 
 
М и с о л :     Z=u
2

v
2
+u+v+4  , u=x+y  ,v=e
х

у
  
Мураккаб функциянинг  х ва у буйича хусусий хосилалари куйидаги 
формулалар оркали хисобланади: 
                                      
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z




























 
Мураккаб функция куйидагича берилган булсин: 
                                     
)
(
),
(
),
;
(
x
v
x
u
v
u
f
Z





 
Бундай  холда  Z    дан      х    буйича  хосила  тула  хосила  дейилади  ва 
куйидагича хисобланади: 
                                     
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z














 
 
                       4. Хар хил тартибдаги хусусий хосилалар. 
 

Z=f(x,y)  берилган  булсин  , 
y
z
x
z




,
  хусусий  хосилалар    х    ва    у  
узгарувчиларнинг  функцияларидир  .Шунинг  учун  улардан  яна 
хосила  топиш  мумкин.  Иккинчи  тартибли  хосилалар  куйидагича 
белгиланади: 
                                        
2
2
2
2
2
,
,
y
z
y
x
z
x
z







 
 
Учинчи тартибли хусусий хосилалар бундай белгиланади: 
                                       
3
3
2
3
2
3
3
3
2
2
3
3
3
,
,
,
,
,
,
y
z
x
y
z
x
y
z
y
x
y
z
x
y
x
z
y
x
z
y
x
z
x
z
























 
Умуман  .  n    -  тартибли  хусусий  хосила  (n-1)  тартибли  хусусий 
хосиланинг биринчи тартибли хусусий хосиласидир. 
 
ТЕОРЕМА:  Агар  Z = f (x,y)  функция ва унинг Z

х
, Z

у
 , Z

ху
 , Z

ух
 
хосилалари М(х,у) нуктада ва унинг бирор атрофида аникланган ва 
узлуксиз булса. Бу нуктада   f
xy
 = f
yx
    булади. 
Теоремани исботсиз кабул киламиз. 
                                       
 
 
 
 
С а в о л л а р : 
 
1.Хусусий ва тула орттирмаларни тахрифланг. 
2.Хусусий хосилаларни таърифланг. 
3.Мураккаб  функциянинг  хосиласини  таърифланг.  Тула  хосила 
нима. 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 – М А Ъ Р У З А. 
 
          ТУЛА  ОРТТИРМА  ВА ТУЛА  ДИФФЕРЕНЦИАЛ ,ГРАДИЕНТ.             
                                   ЙУНАЛИШ БУЙИЧА ХОСИЛА. 
 
 
Таянч  иборалар:
    Тула  орттирма,  тула  диференциал,  градиент,  йуналиш  буйича 
хосиласи. 
 
1. Тула орттирма ва тула дифференциал. 
 
Z=f (x ,y)  функция  тула орттирмасининг таърифига кура   
                            

Z = f (x +

x , y + 

y )- f (x , y)                            (48) 
f  (x  ,y)    функция  каралаётган  (х,у)  нуктада  узлуксиз  хусусий  хосилаларга  эга  булсин.(48) 
тенгликни куйидаги куринишда ёзиш мумкин: 

 Z = [ f (x +

x,y + 

y ) – f (x,y + 

y)] + [f (x,y + 

y) – f (x ,y)] 
           (49) 
Кавслардаги  айирмаларга Лагранж теоремасини куллаб 
                           
y
y
y
x
f
y
x
f
y
y
x
f







)
,
(
)
,
(
)
,
(
 
                      (50) 
 
                 
x
x
y
y
x
f
y
y
x
f
y
y
x
x
f













)
,
(
)
,
(
)
,
(
 
            (51) 
 
тенгликларни хосил киламиз. Бунда  
y
y
y
y
x
x
x
x








,
 булади. 
Фаразимизга кура хусусий хосилалар узлуксиз булгани учун 
                              
x
y
x
f
x
y
y
x
f
y
x











)
,
(
)
,
(
lim
0
0
                                   (52) 
                                                                                                               
           
y
y
x
x
y
x
y
y
x
f
y
y
x
f
y
x
















,
0
,
0
,
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
          (53) 
 
(52), (53) ларни лимитлар хоссасидан фойдаланиб, куйидаги куринишда ёзамиз: 
                              
                               
1
)
,
(
)
,
(









x
y
x
f
x
y
y
x
f
                                  (54) 
 
                               
2
)
,
(
)
,
(







y
y
x
f
y
y
x
f
                                          (55) 

Бу ерда  γ
1
   ва γ
2
 лар  

x , 

y лар  нолга  интилганда нолга интилади .Кетма-кет (54),(55) ларни 
(50),(51)  га  ва      (50),  (51)ларни  (49)-  тенгликка  куйсак,  функциянинг  орттирмаси    ушбу 
куринишга келади: 
 
                          
y
x
y
y
y
x
f
x
x
y
x
f
Z















2
1
)
,
(
)
,
(
            (56) 
(56)  даги     
y
y
y
x
f
x
x
y
x
f







)
,
(
)
,
(
    ифода  функция  орттирмасининг    бош  булагини 
ташкил этади.   dz      ёки   df  билан белгиланади  ва  Z = f (x , y) функциянинг берилган (х,у) 
нуктадаги  дифференциали деб айтилади.  Агар 
 

x =dx  ва 

y =dу   деб   олинса , функциянинг дифференциали  куйидаги куринишга келади :  
                                   
dy
y
y
x
f
dx
x
y
x
f
dz






)
,
(
)
,
(
                               (57)  
Натижада (56) – тенглик 
y
x
dz
z








2
1
 куринишга келади. 

x , 

y  нолга интилганда  γ
1
 

x + γ
2
 

y    нолга  интилади.Бу йигиндини эътиборга олмасак катта 
хато килмаймиз, яъни охирги тенгликдан 
dz
z


   ва                                                                                              
               
dy
y
y
x
f
dx
x
y
x
f
y
x
f
y
y
x
x
f











)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
    (58) 
формулани оламиз .(58) дан такрибий хисоблашларда фойдаланиш мумкин. 
 
 
2. Йуналиш буйича хосила.Градиент. 
 
D  сохада 
u
=f  (x  ,y    ,z  )    функцияни  ва  М(х,у,z)  нуктани  караймиз  .М  нуктадан  йуналтирувчи 
косинуслари  


cos
,
cos
,
cosa
 булган  
S
  векторни (14-расм) ва 
  
 
                                                                                      
 
 
 
 
 
14-расм 
 
 M
1
(x+

x,y+

y,z+

z)  нуктани караймиз. f (x,y,z)  функция D сохада узлуксиз хосилаларга эга деб 
фараз киламиз. Бу функция учун 56- тенглик куйидагича ёзилади: 
                     
z
y
x
z
z
f
y
y
f
x
x
f
u






















3
2
1
          (59) 
Табиийки  
2
2
2
z
y
x
S







  нолга   интилганда γ
1
, γ
2
, γ
3
, лар  нолга    интилади 
.(59)- тенгликни иккала томонини  

S га булиб 

S 

0                   интилгандаги лимитни 
караймиз : 
z 
M
1
 

y 

x 
y 
0 
x
 
M 

z` 
у 
х 

0
lim
lim
lim
,
cos
lim
,
cos
lim
,
cos
lim
;
lim
;
)
,
(
)
,
(
)
,
(
3
0
2
0
1
0
0
0
0
0
3
2
1









































































S
z
S
y
S
x
S
z
S
y
a
S
x
S
u
S
u
(60)
        
S
z
S
y
S
x
S
z
z
y
x
f
S
y
y
y
x
f
S
x
x
y
x
f
S
u
S
S
S
S
S
S
S
 
эканликларини назарга олиб  (60) – дан   
                       













cos
)
,
(
cos
)
,
(
cos
)
,
(
z
y
x
f
y
y
x
f
a
x
y
x
f
S
u
                  (61) 
тенгликни оламиз. Бу ердаги 
S
u


 хосила. 
 
u 
=f (x, y,z )  функциясининг 
S
 йуналиши буйича 
хосиласи деб айтилади. 
Хусусий хосилалар йуналиш буйича хосиланинг хусусий холидир.Масалан,         
2
,
2
,
0








  булганда  
                                   
x
u
dz
u
d
y
u
x
u
S
u














2
cos
2
cos
0
cos
 
М  и  с  о  л  :   
3
3
3
z
y
x
u



  берилган      М(I;  I;  I)  нуктада 
S
=
k
j
i
3
2


  вектор 
йуналиши буйича хосила топилсин. 
 
Ечими: 
                                 
.
3
)
(
,
3
)
(
,
3
)
(
,
3
14
3
cos
;
14
1
cos
;
14
2
9
1
4
2
cos
2





















z
M
u
y
M
u
x
M
u
x
x
u
 
 
 
Демак.  
                                 
14
18
14
3
3
14
1
3
14
2
3









S
u