Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат

Ечими: Суратни махражга булиб, кейин   V ва VI хоссаларни куллаб,   интеграл остидаги 
функцияни алмаштирамиз ва интеграллар жадвалидан фойдаланамиз: 

         



dx
х
х
х
2
2
1
5
7
=










2
2
5
7
1
5
7
x
dx
dx
x
dx
dx
)
х
х
(
7ln

x

-5x-
      
               -  
.
с
х

1
 
б)  Дифференциал  белгиси  остига  киритиш  усули  интеграл  остидаги  ифодани 
алмаштиришдан иборат. 
М и с о л :  1)









.
c
)
x
(
)
x
(
d
)
x
(
dx
)
х
(
6
4
4
4
4
6
5
5
 
Бу ерда dx=d(x+4)лигидан фойдаландик. 
2)












.
)
1
ln(
2
1
1
)
1
(
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
c
x
x
x
d
x
xdx
x
xdx
  
Бу  ерда  олдин  интегрални  2  сонга  купайтирдик  ва  айни  шу  пайтда  уни  2  сонга  булдик. 
Ундан кейин 2xdx=dx
2
 =d(1+x
2
)   эканлигидан фойдаландик . 
3) 










11
4
11
4
4
1
11
4
4
4
11
4
x
)
x
(
d
x
dx
x
dx
ln

4x-11

+c. 
в) Аникмас интегралда узгарувчиларни алмаштириш. 
Интеграллар  жадвалига  кирмаган      интегрални    хисоблаш  керак  булсин.  х  ни  t  эркли 
узгарувчининг 
бирор 
дифференциалланувчи 
функцияси 
оркали 
ифодалаб, 
интеграллашнинг  янги  t  узгарувчисини  киритамиз:  х=

(t),бунга  тескари  t=

(x)  функция 
мавжуд булсин, у холда  
                                   dx=

(t)dt 
булиб  
                             






dt
t
t
f
dx
x
f
)
(
))
(
(
)
(
 
эканини  исботлаймиз.  Тенгликнинг  хар  иккала  томонидан 
хосила олинса, теорема исботланган булади. 
F(x) функция  f(x) функциянинг бошлангич функцияси булсин, у холда 
                           



)
(
)
)
(
(
x
F
dx
x
f
 , 
     


















)
(
1
)
(
))
(
(
 
 
)
)
(
))
(
(
(
)
)
(
))
(
(
(
t
t
t
f
dt
dx
dt
t
t
f
dt
t
t
f
t
x
                            =
).
(
))
(
(
x
f
t
f


  
Теорема  исботланди. 
М и с о л :  1)  


4
x
x
dx
   интегрални  топинг. 
Ечими:    























tdt
dx
t
x
t
x
,
t
x
x
x
dx
2
4
4
4
4
2
2
 

                 

















C
x
x
C
t
t
t
dt
t
t
tdt
2
4
2
4
ln
2
1
2
2
ln
2
1
2
2
)
4
(
2
2
2
2
  
М и с о л : 2)   


dx
x
2
1
   интегрални  топинг. 
Ечими:     



















t
t
x
tdt
tdx
x
dx
x
sin
cos
1
1
sin
cos
1
2
2
2
 
              












dt
tdt
dt
t
tdt
2
1
2
cos
2
1
2
2
cos
1
sin
2
 
    










c
x
x
c
t
t
t
t
td
сos
arccos
2
1
arccos
2
sin
4
1
2
1
2
sin
4
1
2
1
2
2
4
1
 
           
c
x
x
x
c
x
x
x








arccos
2
1
2
1
arccos
2
1
arccos
cos
arccos
sin
2
1
2
 
г)  Булаклаб интеграллаш усули. 
   
Фараз  килайлик,    и(х)    ва    v(x)    функциялар    х    нинг    дифференциалланувчи 
функциялари булсин.  Бу функциялар купайтмасининг дифференциалини топамиз: 
                                 
udv
vdu
)
v
u
(
d



 , 
бунда 
                                   
vdu
)
uv
(
d
udv


 
Охирги тенгликнинг иккала кисмини интеграллаб, куйидагини хосил киламиз: 
                               





vdu
)
uv
(
d
udv
 
ёки 
                            




vdu
uv
udv
 
Бу формула булаклаб интеграллаш формуласи дейилади. 
Одатда,






xdx
x
dx
a
x
dx
x
a
xdx
x
xdx
х
n
x
n
n
n
ln
,
,
,
sin
,
cos
2
      ва 
шуларга ухшаш интеграллар булаклаб интеграллаш формуласи оркали хисобланади. 
М и с о л :  1) 


dx
x
2
1
         интегрални топинг. 
Ечими:       





















v
x
,
du
x
xdx
dv
dx
,
u
x
dx
x
2
2
2
1
1
1
                 
                    













dx
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
 
                    









2
2
2
1
1
1
x
dx
dx
x
x
x
 
                    







C
x
dx
x
x
x
arccos
1
1
2
2
 

Куйидаги тенглик хосил булди: 
                 









C
x
dx
x
x
x
dx
х
arccos
1
1
1
2
2
2
 
Демак, 
                         







.
2
cos
2
1
1
2
2
C
x
аrc
x
x
dx
х
 
М и с о л :2)  


dx
x
x
5
    интегрални топинг. 
Ечими: 


dx
x
x
5
=














v
ln
,
du
dx
dv
dx
,
u
x
x
x
5
5
5
=








.
C
ln
ln
x
dx
ln
ln
x
x
x
x
x
5
5
1
5
5
5
5
1
5
5
2
                                                  
 
 
 
С а в о л л а р : 
 
1.Бевосита интеграллаш усули таърифини келтиринг. 
2.Дифференциал остига киритиш усули нимадан иборат? 
3.Булаклаб интеграллаш формуласини чикаринг. 
4.Аникмас  интегралда  узгарувчиларни  алмаштириш  усули 
нимадан          иборат? 
 
 
3-М А Ъ Р У З А 
 
KВАДРАТИК УЧХАД КАТНАШГАН БАЪЗИ ФУНКЦИЯЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ. ЭНГ 
СОДДА РАЦИОНАЛ КАСРЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ. 
 
Таянч  иборалар:
      квадратик  учхад  ,энг  содда  рационал  каср,  рекурент      
формуласи. 
 
а) Квадратик учхад катнашган баъзи функцияларни 
интеграллаш. 
Ушбу интегрални караймиз: 
                  I
1=



,
c
bx
ax
dx
2
                                                     




.
c
bx
ax
dx
I
2
1
                      
 
      Аввал махраждан квадрат учхадни йигинди ёки айирма куринишига келтирамиз: 
   



















2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
а
в
(
а
с
)
а
в
(
х
а
в
х
а
а
с
х
а
в
х
а
с
вx
ax
 

                    =
















2
2
2
2
2
2
4
2
к
)
а
в
х
(
а
)
а
в
а
с
(
)
а
в
х
(
а
 
бу ерда 
                     
к
а
в
а
с



2
2
4
 
белги киритилди. 
Шундай килиб, 
        























2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
к
t
dt
a
dt
dx
,
t
а
в
х
к
)
а
в
x
(
dx
а
с
вх
ax
dx
I
 
Бу эса жадвалдаги интегралдир. 
Шу каби, 
       























2
2
2
2
2
1
2
2
к
t
dt
dt
dx
t
а
в
х
к
)
а
в
x
(
dx
с
вх
ax
dx
I
 
 
М и с о л :  Ушбу  интегрални хисобланг : 
                                          



20
8
2
2
x
x
dx
 
 
 
Ечими: 



20
8
2
2
x
x
dx
=















6
2
2
1
4
10
4
4
2
1
10
4
2
1
2
2
2
)
x
(
dx
x
x
dx
x
x
dx
 
=














C
t
arctg
t
dt
dt
dx
t
х
6
6
2
1
6
2
1
2
2
 
 
б) Умумийрок куринишдаги интегралларни караймиз: 
                  
                              










dx
с
вх
ax
B
Ax
I
dx
с
вх
ax
B
Ax
I
2
2
2
2
,
 
Интеграл остидаги функцияни бундай алмаштирамиз: 













dx
с
вх
ax
)
а
Aв
В
(
)
в
ax
(
a
A
dx
с
вх
ax
B
Ax
I
2
2
2
2
2
2
 

1
2
2
2
)
2
(
)
2
(
2
)
2
(
)
2
(
2
J
a
A
В
с
вх
ax
dx
в
ax
a
A
с
вх
ax
dx
a
A
В
с
вх
ax
dx
в
ax
a
A


















 
   
1
2
2
)
2
(
2
)
2
(
J
a
A
В
t
dt
a
A
dt
dx
в
ax
t
с
вх
ax
I

















 
   
C
I
a
A
В
с
вх
ax
a
A
I
a
A
В
t
a
A
I









1
2
1
2
)
2
(
ln
2
)
2
(
ln
2
 
Бу ердаги  I
1
  интегралнинг хисобланиши юкорида курсатилган. 
Шу каби  
2
I
  интеграл  хам  хисобланади. 
                    
    














dx
с
вх
ax
а
Aв
В
a
в
ax
A
dx
с
вх
ax
B
Ax
I
2
2
2
)
2
(
2
)
2
(
 
=















dx
с
вх
ax
в
ax
a
A
с
вх
ax
dx
)
a
A
B
(
dx
с
вх
ax
в
ax
a
A
2
2
2
2
2
2
2
2
 
 
+
)
а
Aв
В
(
2









 















1
2
1
2
2
2
I
a
Ab
B
t
dt
a
A
dt
dx
b
ax
t
c
bx
ax
I
 
=
C
I
а
Ав
В
с
вх
ax
a
A
I
а
Aв
B
t
a
A








1
2
1
)
2
(
)
2
(
 
1
I
  интегрални ечилиши  юкорида курсатилган. 
М и с о л :  Куйидаги интегрални хисобланг : 
                                       




dx
x
x
x
10
4
3
5
2
 
 Ечими:     












dx
x
x
)
(
)
x
(
dx
x
x
x
10
4
10
3
4
2
2
5
10
4
3
5
2
2
 
                    











6
)
2
(
7
10
4
4
2
2
5
2
2
x
dx
dx
x
x
x
 
                    
C
х
х
x
ln
х
х









10
4
2
7
10
4
5
2
2
 
в) Энг содда рационал касрларни интеграллаш. 
Куйидаги рационал касрларни энг содда рационал касрлар деб айтамиз: 
I. 
a
x
A

  ,     II.  
к
)
a
x
(
A

   , III.
q
рх
х
В
Ах



2
  ,    IV. 
n
)
q
рх
x
(
)
B
Ax
(



2
 
 
I ва II  турдаги оддий касрларни интеграллаш жадвал интегралларига осон келтирилади: 

I.       









C
a
x
ln
A
a
x
)
a
x
(
d
A
a
x
Аdx
 
II. 








)
a
x
(
d
)
a
x
(
А
)
a
x
(
Adx
к
к
 
        
С
)
а
х
)(
к
(
А
С
к
)
a
x
(
A
к
к












1
1
1
1
 
III   турдаги оддий касрнинг интегралини караймиз: 
0
4
2


q
р
 булсин, унда 
                  












dx
q
рх
x
B
Ap
)
p
x
(
A
q
рх
x
dx
)
В
Ах
(
2
2
2
2
2
 
                 











q
рх
x
dx
)
Ap
B
(
q
рх
x
dx
)
p
x
(
A
2
2
2
2
2
 
            




















q
рх
x
dx
)
Ap
B
(
t
dt
A
dt
dx
)
p
x
(
t
q
рх
x
2
2
2
2
2
 
            =










4
2
2
2
2
2
2
2
p
q
)
p
x
(
)
p
x
(
d
)
Ap
B
(
q
рх
x
ln
A
 
           
C
p
q
p
x
arctg
p
q
)
Ap
B
(
q
px
x
ln
А










4
2
4
1
2
2
2
2
2
 
Энди IV турдаги оддий касрнинг интегралини хисоблаймиз. 
IV.

















n
n
n
)
q
px
x
(
dx
)
p
x
(
A
dx
)
q
px
x
(
Ap
B
)
p
x
(
A
)
q
px
x
(
dx
)
B
Ax
(
2
2
2
2
2
2
2
2
 
 











I
)
Ap
B
(
I
A
)
p
q
)
p
x
((
)
p
x
(
d
)
Ap
B
(
n
2
2
4
2
2
2
2
2
 
Бу ерда 

        





n
)
q
px
x
(
dx
)
p
x
(
I
2
2
     ,         






n
)
p
q
)
p
x
((
)
p
x
(
d
I
4
2
2
2
2
 
булади. 
1)





n
)
q
px
x
(
dx
)
p
x
(
I
2
2
=














n
t
dt
dt
dx
)
p
x
(
t
q
px
x
2
2
C
)
q
px
x
)(
n
(
n





1
2
1
1
 
2) 






n
)
p
q
)
p
x
((
)
p
x
(
d
I
4
2
2
2
2
=






















2
2
4
2
a
p
q
dt
dx
t
p
x
 
                  









dt
)
a
t
(
t
a
t
a
)
a
t
(
dt
n
n
2
2
2
2
2
2
2
2
1
 
                  







n
n
a
t
dt
t
a
a
t
dt
a
)
(
1
)
(
1
2
2
2
2
1
2
2
2
                                 (*) 
 
 
Охирги интегралга булаклаб интеграллаш формуласини куллаймиз: 
            
                     
























1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
n
n
n
)
a
t
)(
n
(
v
,
dt
du
)
a
t
(
tdt
dv
,
t
u
)
a
t
(
dt
t
 
                









1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
n
n
)
a
t
(
dt
)
n
(
)
a
t
)(
n
(
t
 
 
Агар 
                               



n
n
)
a
t
(
dt
I
2
2
 
белги киритсак, у холда (*)даги формула куйидаги куринишни олади: 
                
1
2
1
2
2
2
1
2
3
2
1
2








n
n
n
I
a
)
n
(
n
)
a
t
(
a
)
n
(
t
I
 
ёки 
               
)
I
)
n
(
)
a
t
(
t
(
a
)
n
(
I
n
n
n
1
1
2
2
2
3
2
1
2
1








             (**) 

Бу  формула  буйича   
1

n
I
2

n
I
      оркали  ифодалаймиз,  сунгра 
2

n
I
  ни 
3

n
I
 
оркали  ифодалаймиз  ва  хоказо.  Бу  жараён  куйидаги  интегрални  хосил  килгунимизча 
давом этади: 
                                  





C
a
t
arctg
a
a
t
dt
I
1
2
2
1
 
(**) формула келтириш ёки рекурент формула дейилади.