Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат
Download 1.64 Mb. Pdf ko'rish
|
olij matematika fanidan bahorgi mavsum uchun maruzalar toplami
- Bu sahifa navigatsiya:
- 9 - М А Ъ Р У З А НЬЮТОН –ЛЕЙБНИЦ ФОРМУЛАСИ ВА АНИК ИНТЕГРАЛНИ ХИСОБЛАШ УСУЛЛАРИ. Таянч иборалар
- 1.Интегралнинг узгарувчи юкори чегараси буйича хосиласи.
- 2. Ньтон – Лейбниц теоремаси . ТЕОРЕМА
- Нътон-Лейбниц формуласи
- = 2 dt t ) 1 ( 2 2 1
- 10-М А Ъ Р У З А ХОСМАС ИНТЕГРАЛЛАР ХАКИДА ТУШУНЧАЛАР. ХОСМАС ИНТЕГРАЛЛАРНИ ХИСОБЛАШ.
- 1.Чегараси чексиз хосмас интеграллар. ТАЪРИФ
- М и с о л : dx x 1 2 0 интегрални хисоблаймиз.
С а в о л л а р : 1. Аник интеграл таърифини келтиринг. 2. Аник интегралнингкандай хоссалари бор. 9 - М А Ъ Р У З А НЬЮТОН –ЛЕЙБНИЦ ФОРМУЛАСИ ВА АНИК ИНТЕГРАЛНИ ХИСОБЛАШ УСУЛЛАРИ. Таянч иборалар: Ньютон-Лейбниц формуласи, чегараси узгарувчан булган интеграл, булаклаб интеграллаш, узгарувчиларни алмаштириш. 1.Интегралнинг узгарувчи юкори чегараси буйича хосиласи. у=f(х) функция [а;b] кесмада узлуксиз булсин . b a dx x f ) ( интегрални караймиз. Агар b юкори чегара узгарувчан булса, юкори чегараси узгарувчан булган интеграл хосил булади: x a dx x f x I ) ( ) ( 1-ТЕОРЕМА : Агар f (x) узлуксиз функция булса , ) ( ) ) ( ( ) ( x f dx x f x I x a -тенглик уринли булади. Исбот : х аргументга ∆х ортирма берамиз. У холда аник интегралнинг хоссасига асосан x x a x a x x x dt t f dt t f dt t f x x I ) ( ) ( ) ( ) ( I(x) функциянинг ортирмасини ёзамиз: ∆I(x)=I(x+∆x)-I(x)= x a x x x x a dt t f dt t f dt t f ) ( ) ( ) ( яъни ∆I(x)= dt t f x x x ) ( (6) Аник интегралнинг ж) хоссасига асосан (6) интеграл X X x dt t f I ) ( f x x x f x ( )( ) ( ) куринишга келади,бунда ξ нинг киймати х билан х+∆х орасида ётади. Хосиланинг таърифига асосан I (х)= ) ( ) ( ) ( lim lim 0 0 x f x x f x x X X ( х 0 интилганда х назарга тутилади.) Теорема исботланди. 2. Ньтон – Лейбниц теоремаси . ТЕОРЕМА: Агар F(x) узлуксиз f (x) функциянинг бирор бошлангич функцияси булса, у холда b a b a x F dx x f ) ( ) ( =F(b)-F(а) тенглик уринлидир. Бу тенглик Нътон-Лейбниц формуласи дейилади. Исбот: F(x) функция узлуксиз f (x) функциянинг бирор бошлангич функцияси булсин. I- теоремага асосан x a dt t f ) ( функция хам f(x)функциянинг бошлангич функцияси булади.Аммо, хар кандай иккита бошлангич функция бир-биридан узгармас С кушилувчи билан фарк килади: x a dt t f ) ( =F(x)+ С (7) Бу тенгламада х=а деб олсак, аник интегралнинг а) хоссасига асосан 0=F(a)+ С булади. Демак, С =- F (а) булади. С кийматини (7) га куямиз. x a dt t f ) ( = F(x)-F(a) Энди бу тенгликда х=b десак Ньютон-Лейбний формуласи хосил булади. x a dt t f ) ( =F ) (x =F(в) –F(а) (8) Теорема исботланди. Бевосита интеграллаш, дифференциал остига киритиш у с у л л а р и . 1-М и с о л : 1 0 1 0 2 3 3 2 3 2 x dx x 2-М и с о л : , 1 1 1 1 1 n a b n x dx x n n b a b a n n n -1 3-М и с о л : e e e e e x x xd dx x x 1 1 2 2 2 1 2 2 1 ln 2 1 2 1 ln ln 2 ln ln ln ln 4-М и с о л : 4 4 1 4 4 4 4 а в b a x х в а е е e dx е 5-М и с о л : 6 2 1 arcsin arcsin 1 2 1 0 2 2 1 0 x x dx 6-М и с о л : 4 1 1 1 0 2 1 0 arctg arctgx x dx 7-М и с о л : 1 1 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 1 ) 1 ( 2 1 1 3 0 2 2 2 1 2 3 0 2 2 3 0 2 3 0 x x d x x x d x хdx 8-М и с о л : 1 0 cos 2 1 cos 2 1 2 cos 2 1 2 2 sin 2 1 2 sin 2 0 2 0 2 0 x x xd xdx 2.Булаклаб интеграллаш усули. и ва v функциялар х нинг дифференциалланувчи функциялари булсин. У холда : d(и ; v)=vdи+иdv Бу айниятнинг иккала томонини а дан в гача интеграллаймиз: b a b a b a udv vdu v u d ) , ( чап томонига Ньютон-Лейбниц формуласини куллагандан кейин охирги тенгликни куйидаги куринишда ёзиш мумкин: b a b a b a vdu v u udv ) , ( (9) (9)- тенглик аник интегрални булаклаб интеграллаш формуласи дейилади. 1-М и с о л : 2 0 2 0 2 0 sin sin sin , cos , cos xdx x x v x du dx dv xdx u x xdx x 2 2 1 2 cos 2 2 0 x 2- М и с о л : 2 2 2 2 1 1 1 1 ) 4 ( 4 2 ) ln 2 ( 2 , , ln ln е e x e x dx x x x v x du x dx dv x dx u x dx x x 3-Мисол: - 3 0 3 0 3 0 2 2 3 0 2 1 ln 2 1 3 3 1 , 1 , x x хdx gx arct x v x du x dx dv dx u arctgx arctgxdx 2 ln 3 3 4 ln 2 1 3 3 . 2 Аник интегралда узгарувчини алмаштириш. 3-ТЕОРЕМА: b a dx x f ) ( интегралда х= t тенглик оркали янги t узгарувчи киритилган булсин. Агар 1) =а , =b, 2) t ва t лар [ ] да узлуксиз функциялар булса, 3) f [ t ] функция [ ] кесмада аникланган ва узлуксиз булса, у холда ‰ € dt t t f dx x f ) ( ) ( ) ( (10) булади. Бу тенглик аник интегралда узгарувчиларни алмаштириш формуласи деб аталади. Исбот: F(x) функция f (x) функциянинг бошлангич функцияси булсин. Унда куйидаги тенгликларни ёзиш мумкин: , ) ( ) ( ) ( ) ( b a b a a F b F x F dx x f ) ( ) ( )) ( ( )) ( (( ) ( ) ( )) ( ( a F b F F F t F dt t t f Теорема исботланди. 4-М и с о л : t tdt t tdt dx t x t x x xdx 2 ) 1 ( 2 , 1 , 2 1 , 1 1 2 2 1 3 0 2 =2 dt t ) 1 ( 2 2 1 0 3 4 3 4 ) 2 3 2 ( 2 1 3 t х 5-М и с о л : 2 , 0 cos 1 , cos ; sin 1 2 2 2 1 0 t x tdt dx t x dx x = 4 ) 2 2 sin ( 2 1 ) 2 cos 1 ( 2 1 cos 2 0 2 0 2 2 0 t t dt t tdt . С а в о л л а р : 1.Нътон-Лейбниц формуласини келтириб чикаринг. 2.Аник интегрални булаклаб булаклаб интеграллаш учун формулани келтириб чикаринг. 3. Аник интегралда узгарувчиларни алмаштириш формуласини келтиринг. 10-М А Ъ Р У З А ХОСМАС ИНТЕГРАЛЛАР ХАКИДА ТУШУНЧАЛАР. ХОСМАС ИНТЕГРАЛЛАРНИ ХИСОБЛАШ. Таянч иборалар: Хосмас интеграл, якинлашувчи хосмас интеграл, узоклашувчи хосмас интеграл. 1.Чегараси чексиз хосмас интеграллар. ТАЪРИФ: [а;∞) интервалда узлуксиз булган функциянинг хосмас интеграли деб dx x f b а b ) ( lim (10) лимитга айтилади ва a dx x f ) ( каби белгиланади, яъни f x dx a ( ) в a b dx x f ) ( lim . Агар (10) лимит мавжуд булса, у холда хосмас интеграл якинлашувчи дейилади, агарда курсатилган лимит мавжуд булмса, хосмас интеграл узоклашувчи дейилади. (-∞;b], (-∞;∞) интервалларда хосмас интеграл шунга ухшаш таърифланади. b dx x f ) ( b a a dx x f ) ( lim . f x dx ( ) f x dx С ( ) f x dx С ( ) „ a a dx x f ) ( lim lim ( ) b С b f x dx . М и с о л : dx x 1 2 0 интегрални хисоблаймиз. 3 - расм Ечими: y x 0 dx x 1 2 0 = в b x dx 0 2 1 lim = в b arctg 0 lim 2 ) 0 ( lim arctg arctgb b Каралган интеграл 3-расм да штрихланган чексиз эгри чизикли трапециянинг юзини ифодалайди. Баъзи бир холларда берилган интегралнинг якинлашувчи ёки узоклашувчи эканини билиш ва унинг кийматини бахолаш етарли булади. Куйидаги теоремалар исботсиз келтирилади. ТЕОРЕМА: Агар барча х(х≥а) лар учун 0 ≤f(x)≤ φ(x) –тенгсизликлар бажарилса ва a dx x) ( якинлашувчи булса, у холда f x dx a ( ) хам якинлашувчи булади, бунда f x dx a ( ) a dx x) ( булади. М и с о л : dx x е 2 2 1 1 ( ) интеграл якинлашувчи эканлиги текширилсин. Ечими: х≥1 булганда 1 1 2 2 х е ( ) < 1 2 х 1 1 1 1 2 1 1 х dx x b b b b lim lim ( ) ( ! ) Демак, dx x е 2 2 1 1 ( ) теоремага асосан якинлашувчи экан. ТЕОРЕМА: Агар барча х(х≥а) лар учун 0 ≤φ(x)≤ f(x) тенгсизликлар бажарилса ва шу билан бирга a dx x) ( узоклашувчи булса, у холда f x dx a ( ) интеграл хам узоклашувчи булади. М и с о л : 1 3 4 х х dх текширилсин. Ечими : , 1 4 3 3 х х х х х аммо х dx 1 2) - b х b b b 2 ( lim 2 lim 1 Теоремага асосан берилган интеграл узоклашувчи булади. ТЕОРЕМА: Агар a dx x f ) ( интеграл якинлашувчи булса, a dx x f ) ( интеграл хам якинлашувчи булади. Бу холда a dx x f ) ( интеграл абсалют якинлашувчи интеграл дейилади. Download 1.64 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling