Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат

                                  


 













1
0
2
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
1
)
1
(
2
1
)
|
2
|
)
1
(
)
)
1
(
(
dx
x
dx
y
y
x
dx
dy
y
x
V
x
x
x
 
 
б) D тугри соха берилган булсин .(19- расм).Унинг S юзи куйидаги 
формула оркали хисобланади: 
                                   
 



b
a
x
x
dx
dy
S
)
(
)
(
)
(
2
1
 
М и с о л:  D соха y=0, x=0, x+y=1 чизиклар билан чегараланган.Уни 
юзини хисобланг . 
Ечими:  
                        

 











1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
|
)
2
(
)
1
(
)
|
(
)
(
x
x
dx
x
dx
y
dx
dy
S
x
x
 
                      
4.Уч каррали интеграллар. 
 
1.  Уч каррали интегралнинг таърифи. 
S  сирт билан чегараланган фазовий (уч улчовли) V  соха куйидаги 
хоссаларга эга булсин: 
а)  V      соханинг  ички  нуктаси  оркали  ОZ  укига  параллел  килиб 
утказилган хар кандай тугри чизик  S сиртни икки нуктада кесади: 
б)  V    соха  бутунига  ОХУ  текисликка  D  тугри  соха  куринишда 
проекцияланади 
в)  V    соханинг  координата  текисликларидан  исталагн  бирига 
параллел  текислик  билан  кесилган  кисми  хам  а)  ва  б)  хоссаларга  
эга булади 
(21-расм) 
 
z 
V 

 
 
 
 
 
 
21-расм 
 
                                               
Юкорида  курсатилган  хоссаларга  эга  булган    V    сохани  тугри  уч 
улчовли соха деб айтамиз. 
Энди  шу  V  сохада  аникланган  уч  аргументли  f  (x,y,z)  узлуксиз 
функциянинг V соха буйича олинган уч каррали J
v
  интегралининг 
таърифини келтирамиз: 
                                    
  

b
a
x
x
y
x
Ф
y
x
F
v
dx
dy
dz
z
y
x
f
J
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
2
1
)
)
)
,
,
(
(
(


 
Бу интегрални  хисоблаш учун олдин уни х,у лар узгармас деб 
                                     


)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
(
y
x
Ф
y
x
F
dz
z
y
x
y
x
Q
 
Z , буйича аник интеграл хисобланади . 
Сунгра  бу    Q(x,y)    функциядан    D  соха  буйича      икки  каррали 
интеграл  юкорида  хисобланган  каби  топилади.(1-  пунктдаги 
мисол) 
М  и  с  о  л  :  f  (x,y,z)=x

y

z  функциядан  x=0,  y=0,  z=0,  x+y+z=1 
текисликлар  билан  чегараланган    V  соха  буйича  олинган  уч 
каррали интеграл хисоблансин. 
Ечими:  V  соха  учбурчакли  пирамида  булиб  тугри  сохани  ташкил 
килади. 
Демак, 
                                               
720
1
)
1
(
24
1
}
)
1
(
2
1
{
}
|
2
{
}
]
[
{
1
0
4
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0
2
1
0
1
0
1
0















 
 
  







dx
x
x
dx
dy
y
x
xy
dx
dy
xyz
dx
dy
dz
z
y
x
Jv
x
x
y
x
x
y
x
 
 
                      
M
i+1
 

(x,y) 

1
(x) 

2
(x) 
F(x,y) 

 
 
 
 
 
 
 
                                                           22-расм 
                                                         
    
 
5. Эгри чизикли интегралнинг таърифи. 
 
P(x,y)    нукта    бирор    L    чизик  буйлаб    М  нуктадан    N  нуктага 
харакатланаетган  булсин,  Р  нуктага  бирор  бир   
)
( p
F
F

    куч 
куйилган  булсин  .Бу    куч бажарган  ишни хисоблаймиз.(22-расм ) 
Бунинг учун  MN  эгри чизикни M
0
 =M,M
1
 ,M
2
 ,…M
n
 = N  нукталар 
ёрдамида    n  та  булакка  буламиз      ва   
1

i
i
М
М
    векторни     
Si

          
билан белгилаймиз . 
 
F    кучнинг  M
i
  нуктадаги микдорини скаляр купайтма   кучнинг   
M
i
  M
i+1
      ёй  буйича    бажарган  ишининг  такрибий  ифодаси  деб 
караш мумкин , бунда  
 
                        ва             






n
i
Si
Fi
A
Si
F
Ai
1
           булади. 
Энди   
F
  куч куйидагича берилган булсин: 
                                          
j
y
x
Y
i
y
x
X
F
)
,
(
)
,
(


 
бу ерда  X(x,y)  ва  Y(x,y) лар  F векторнинг ОХ ва ОУ укларидаги 
проекциялари  ,  ОХ  ва  ОУ  координаталарининг  M
i
        нуктадан    
M
i+1
 нуктага  
утишдаги  орттирмаларини       

x
i
          ва       

y
i
  билан  белгилаб, 
куйидагиларни  
хосил киламиз: 
                                         
j
y
i
x
Si
i
i





 
Демак:  
                               
i
i
i
i
i
i
y
y
x
У
x
y
x
Х
Si
Fi





)
,
(
)
,
(
 
M
1
 
M 
M
i
 
N 

Энди  ишнинг  аник  кийматини   
0
,
0




i
i
y
x
  даги    лимитлар 
оркали топамиз: 
                              









i
i
i
i
i
i
y
x
y
y
x
У
x
y
x
Х
A
i
i
)
,
(
)
,
(
[
lim
0
0
 
Бу  лимитнинг  киймати  эгри  чизикли  интееграл  деб  айтилади  ва 
куйидагича белгиланади: 
                              



L
dy
y
x
У
dx
y
x
X
A
)
,
(
)
,
(
 
L  чизик   






x
x
y
),
(
 тенглик билан берилган  булсин . 
У  холда  эгри  чизикли  интеграл  куйидаги  формула  оркали 
хисобланади: 
          











L
dx
x
x
x
Y
x
x
X
dy
y
x
Y
dx
y
x
X
))
(
'
))
(
,
(
))
(
,
(
(
)
,
(
)
,
(
        
(65) 
 
 
М и с о л :       


L
ydy
xdx
 интегрални хисобланг.    Бу ерда   L ; A(0;0)  
ва  В(1;1)  нукталарни туташтирувчи кесмадир (23-расм). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                                           
                                                       23-расм 
 
 
Ечими:  L  чизикнинг  тенгламаси  у=х  шунинг  учун,  (65)                                                                                         
формулага асосан  
                   
y 
0 
x
 
B(1; 1) 
1 
1 
L 
. 
A 

                                   










L
x
xdx
dx
x
x
x
ydy
xdx
1
0
1
0
1
0
2
1
|
2
)
'
(
 
 
 
 
 
 
С а в о л л а р : 
 
1.  Икки 
каррали  интегрални  таърифланг  ва  хоссаларини 
келтиринг. 
2.  Уч каррали интеграл таърифланг. 
3.  Эгри чизикли интегрални таърифланг. 
 
 
 
 
 
25  -   М А Ъ Р У З А 
 
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАРГА  КЕЛУВЧИ 
МАСАЛАЛАР. УМУМИЙ  ВА ХУСУСИЙ ЕЧИМЛАР. 
УЗГАРУВЧИЛАРИ АЖРАЛАДИГАН ВА ЧИЗИКЛИ 
БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ ТЕНГЛАМАЛАР. 
Таянч  иборалар:
  Дифференциал  тенглама,  умумий  ечим,  хусусий  ечим  дифференциал 
тенгламанинг  тартиби,  узгарувчилари  ажраладиган  тенглама,  чизикли  биринчи  тартибли 
дифференциал тенглама . 
 
1
.   Дифференциал тенгламага олиб келувчи масала. Умумий ва 
хусусий ечимлар. 
 
М и с о л :  Массаси  m булган жисм бирор баландликдан ташлаб юборилган. Агар жисмга огирлик 
кучидан  ташкари  хавонинг  тезликка  пропорционал  булган  (пропорционаллик  коэффициенти  k) 
каршилик кучи таъсир этса, бу жисмнинг тушиш тезлиги v кандай конун билан узгаришини билиш, 
яъни v=f(t) мунособатни топиш талаб этилади.                    
 
Ечими.  Ньютоннинг иккинчи конунига мувофик   
 
 
                                                   m
,
F
dt
dv


 

бунда   
dt
dv
    харакатдаги жисмнинг  тезланиши,       F эса жисмга харакат йуналишида таъсир 
этувчи куч булиб, у огирлик кучи mg дан ва хавонинг каршилик кучи –kv дан ташкил топади. Демак,                                                                           
                                                  m 
dt
dv
= mg–kv 
Биз  номаълум  v  функция  билан 
dt
dv
  хосиласи  орасидаги  богланишни  ифодаловчи  тенгламасини 
топдик. Унинг ечими 
                                              
k
mg
ce
v
m
kt



 
 
булади. 
 
ТАЪРИФ: Дифференциал тенглама деб эркли узгарувчи х , номаълум  
у  =  f  (x)  функция  ва  унинг 
)
n
(
у
,...,
у
,
у


  хосилалари  орасидаги  богланишни  ифодалайдиган 
тенгламага айтилади:   F(x,у, 
)
n
(
у
,...,
у
,
у


)=0  
Агар бу тенгликни у
(n)
 хосилага нисбатан ечсак у куйидаги куринишга келади:               у
(n) 
= f (x,у, 
)
n
(
у
,...,
у
,
у
1



).  
Изланган  функция  у  =  f  (x)  битта  эркли  узгарувчига  боглик,  шунинг  уни  оддий  дифференциал 
тенглама  деб  атаймиз.  Бу  кейинги  маърузаларимизда  факат  оддий  дифференциал  тенгламаларни 
караймиз.                                                                     
 
ТАЪРИФ:    Дифференциал  тенгламанинг  тартиби  деб  тенгламага  кирган  хосиланинг  энг  юкори 
тартибига айтилади. Масалан,                 
                                                      у

-4ху+7=0 
биринчи тартибли дифференциал тенглама, 
                                                    у

+8у

-ху-tg=0 
иккинчи тартибли дифференциал тенгламадир 
 
ТАЪРИФ: Биринчи тартибли дифференциал тенгламанинг, 
                                                  у

= f (x , у)                                  (с) 
умумий  ечими  деб  битта  ихтиёрий  С  узгармас  микдорга  боглик  булган  ва  (с)  тенгламага 
каноатлантирадиган    у=

(х,С)  функцияга айтилади. 
 
ТАЪРИФ: Ихтиёрий С узгармас микдорга маълум С=С
0
 киймат бериш натижасида у=

(х,С) умумий 
ечимдан хосил буладиган хар кандай у=

(х,С
0
) функцияга хусусий ечим деб айтилади. 
 
М и с о л : Биринчи тартибли  
                                              у

=-
х
у
 
тенглама  учун   
х
С
у

    функциялар  умумий  ечим  булади,  уларнинг  графиклари  эса  интеграл 
чизиклар деб айтилади. Умумий ечимда  С=1 деб олиб  
х
у
1

 хусусий ечимни  хосил киламиз. 
 
 Энди  биринчи  тартибли  дифференциал  тенглама    ечимининг  мавжудлиги  хакидаги 
теоремани исботсиз келтирамиз. 
 
ТЕОРЕМА:   Агар 

                                          
)
у
,
x
(
f
у


 
 
 
тенгламада  f (x,у)  функция ва ундан  у  буйича олинган  
у
f


  хусусий хосила  ХОУ текисликдаги  
(х
0
  ,  у
0
)    нуктани  уз  ичига  олувчи  бирор  сохада  узлуксиз  функциялар  булса,  у  холда  берилган 
тенгламанинг  х=х
0
  булганда у=у
0
  шартни каноатлантирувчи биргина  у=u(x)  ечими мавжуддир. 
 
 х=х
0
    булганда    у    функция  берилган  у
0
    сонга  тенг  булиши  керак  деган  шарт  бошлангич  шарт 
дейилади ва купинча  у

0
х
х

 =у
0 
куринишда ёзилади. 
 
2.  Узгарувчилари ажраладиган дифференциал тенгламалар. 
 
Ушбу  
                             M
1
(x)N
1
(у)dx+ M
2
(x)N
2
(у)dу=0 
куринишдаги  тенглама  узгарувчилари  ажраладиган  тенглама  дейилади.Бу  тенгламанинг  иккала 
томонини N
1
(у) M
2
(x) ифодага булиш йули билан уни узгарувчилари ажралган тенгламага келтириш 
мумкин: 
         
   
   
   
   
,
dy
x
M
y
N
y
N
x
M
dx
x
M
y
N
y
N
x
M
2
1
2
2
2
1
1
1


              
 
 
 
 
,
dy
y
N
y
N
dx
x
M
x
M
1
2
2
1


    
Охирги тенгликни иккала томонини интеграллаб у=

(х,с) умумий ечимни хосил киламиз. 
 
М и с о л : Тенгламани ечинг: 
 
                                (1+х)уdx+(1-у)dy=0 
 
Ечими. Узгарувчиларини ажратамиз: 
  
   
0
)
1
(
)
1
(




xy
xdy
у
xy
ydx
х
 ,                           
0
)
1
(
)
1
(




y
dy
у
x
dx
х
 , 
           















 
,
dy
y
dx
x
1
1
1
1
                                   
,
c
y
y
ln
x
x
ln




 
                                                    
.
c
y
x
xy
ln



 
Кейинги муносабат берилган интегралнинг умумий интеграли дейилади. 
 
3.  Биринчи тартибли чизикли тенгламалар
. 
 
Биринчи тартибли чизикли тенглама деб 
                              у

+P(x)y=Q(x)                                       (D) 
куринишдаги тенгламага айтилади,бунда P(x), Q(x) лар х нинг берилган узлуксиз функциялари (ёки 
узгармас  сонлар).  (D)  тенгламанинг  ечимини  х  нингиккита  функциянинг  купайтмаси  шаклида 
излаймиз: 
   
                                          y=u(x)v(x) 
 
Бу тенгликнинг иккала томонини дифференциаллаймиз. 
      
                                               
v
u
v
u
у





 

 
ва  у  билан  у

  кийматларини (D) тенгламага куямиз: 
  
                                 
Q
puv
v
u
v
u





    , 
ёки 
                                 
Q
pv
v
u
v
u





)
(
                                           (Е) 
v  функцияни 
                                   
0



pv
v
 
тенгламадан топамиз. Бунинг учун унинг узгарувчиларини ажратамиз: 
 
                                    
pdx
v
dv

         , 
                











pdx
e
v
dx
x
p
v
pdx
v
dv
  
,
    
)
(
ln
  
,
      
 
 
Аникланган    v    функция  кийматини    (Е)  тенгламага  куйиб  номаълум   
u
    функцияни  топишимиз 
мумкин: 
 
               












C
dx
x
Q
e
u
  ,
dx
x
Q
e
du
  
   ,
Q
e
u
pdx
pdx
pdx
)
(
)
(
 
 
Демак, чизикли биринчи тартибли дифференциал тенгламанинг умумий ечими куйидаги куринишда 
булади : 
 
                             
)
)
(
(








C
dx
x
Q
e
e
у
pdx
pdx