Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат
Download 1.64 Mb. Pdf ko'rish
|
olij matematika fanidan bahorgi mavsum uchun maruzalar toplami
3.Комплекс сонларнинг тригонометрик шакли.Координаталар бошини кутб,ОХ укининг мусбат йуналишини кутб уки деб олиб, А(а;в) нуктасининг кутб координаталарини ва r (r 0) билан белгилаймиз.Унда ушбу тенгликларни ёзиш мумкин (18-расм): a = r cos , b = r sin , демак комплекс сонни куйидагича тасвирлаш мумкин: a + ib = r cos + ir sin ёки Z = r (cos + i sin ) Бундай комплекс сон тригонометрик шаклда берилган деб айтилади. r- комплекс сон Z нинг модули ва комплекс Z соннинг аргументи деб айтилади: r = | Z | , = arg Z r ва микдорлар а ва в оркали бундай ифодаланади: a b arctg b a r ; 2 2 Комплекс соннинг аргументи бурчак ОХ укининг мусбат йуналишидан соат стрелкаси харакатига тескари йуналишда хисобланса, мусбат, карама-карши йуналишда хисобланса, манфий булади. Равшанки, аргумент бир кийматли булмайди, балки 2к кушилувчигача (к бутун) аникликда белгиланади. а) Тригонометрик шаклда берилган комплекс сонларни купайтириш. Z 1 = r 1 (cos 1 + i sin 1 ), Z 2 = r 2 (cos 2 + i sin 2 ) Комплекс сонлар берилган булсин. Бу сонлар купайтмасини топамиз: Шундай килиб, )] sin( ) [cos( 2 1 2 1 2 1 2 1 r r Z Z М и с о л : ) 2 sin 2 (cos 4 ), 3 sin 3 (cos 2 2 1 i Z i Z булсин, унда ) 6 5 sin 6 5 (cos 8 )] 2 3 sin( ) 2 3 [cos( 4 2 2 1 i i Z Z булади. б) Тригонометрик шаклда берилган комплекс сонларни булиш. Кетма-кет куйидаги тенгликларни курамиз: 1 )] (sin ) [cos( ) sin (cos ) sin (cos ) sin (cos ) sin (cos ) sin (cos ) sin (cos 2 1 2 1 2 1 2 2 21 2 21 2 2 1 1 1 21 2 2 1 1 1 2 1 i r r i i i r i r i r i r Z Z Демак, )] sin( ) [cos( 2 1 2 1 2 1 2 1 i r r Z Z (62) тенглик хосил булади. М и с о л : ? ), 3 sin 3 (cos 4 ), 2 sin 2 (cos 2 2 1 2 1 Z Z i Z i Z Ечими: (62) – формуладан фойдаланамиз: ] 6 sin 6 [cos 2 1 )] 3 2 sin( ) 3 2 [cos( 2 1 ) 3 sin 3 (cos 4 ) 2 sin 2 (cos 2 2 1 i i i i Z Z С а в о л л а р : 1. Комплекс сонни таърифланг. 2. Комплекс сонлар устидаарифметик амаллар бажариш коидаларини келтиринг. 3. Комплекс соннинг тригонометрик куринишини келтиринг. 23 – М А Ъ Р У З А МУАВР ФОРМУЛАСИ . КОМПЛЕКС СОНДАН ИЛДИЗ ЧИКАРИШ. ИККИ ХАДЛИ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ. Таянч иборалар: Комплекс сонни курсаткичли куриниши, Муавр формуласи, икки хадли тенгламалар. 1.Комплекс сонни курсаткичли шакли. Комплекс сонни тригонометрик шаклда тасвирлаймиз: Z = (cos + i sin ) r Эйлер формуласига кура: e i =cos + i sin Демак, хар кандай комплекс сонни ушбу курсаткичли шаклда тасвирлаш мумкин: Z = r e i М и с о л : ) 7 sin 7 (cos 5 Z Бу комплекс сон куйидаги курсаткичли шаклда ёзилиши мумкин. i e Z 7 5 а) Z 1 = r 1 1 i e ва Z 2 = r 2 2 i e комплекс сонларнинг купайтмаси ва булинмасини аниклаймиз: Z 1 Z 2 = r 1 1 i e r 2 2 i e = r 1 r 2 ) ( 2 1 i e М и с о л : 4 2 2 4 , 2 i i e Z e Z Бу сонларнинг купайтмасини ва булинмасини топамиз: 2 4 2 4 2 4 3 4 2 4 2 2 1 2 1 4 2 8 8 4 2 ) ( 2 1 ) ) ( 2 1 i i i i i i i i e e e e Z Z e e e e Z Z б) Комплекс сонни n – даражага кутариш амалини караймиз: i i i i re re re Z re Z 2 2 , Шу каби ,... 2 , 1 , n e r Z in n n Охирги формула Муавр формуласи деб хам ишлатилади. М и с о л : 60 2 i e Z комплекс сон берилган булсин, у холда Муавр формуласига асосан n=6 булганда 10 60 6 6 6 64 2 i i e e Z булади. б) Комплекс сондан n – даражали илдиз чикариш. i re Z берилган булсин.Бу комплекс сондан n – тартибли илдиз оламиз (k=1,2,…): n k i n i n i n e re re Z 2 1 ) ( Демак ,...) 2 , 1 ( , 2 k e r Z n k i n n (63) Эйлер формуласидан фойдаланиб (63) – формулани тригонометрик куринишда ёзиш мумкин: ,...) 2 , 1 )( 2 sin 2 (cos k n k i n k r Z n n (64) 2. Икки хадли тенгламаларни ечиш. A x n шаклдаги тенглама икки хадли тенглама дейилади.Бу тенгламанинг илдизларини топамиз. а) А хакикий мусбат сон булсин. ) 1 ,..., 2 , 1 , 0 ( ), 2 sin 2 (cos n k n k i n k A x n Кавс ичидаги ифода 1 соннинг n – даражали илдизининг хамма кийматларини беради. б) А хакикий манфий сон булса, ) 1 ,... 2 , 1 , 0 ( ), 2 sin 2 cos | | n k n k i n k A x n Кавс ичидаги ифода – 1 соннинг n – даражали илдизининг хамма кийматларини беради. в) А сон компллекс сон булса, х нинг кийматлари (68) формула оркали xисобланади. М и с о л : х 4 =1 тенгламани ечинг. 4 2 sin 4 2 cos 2 sin 2 cos 4 k i k k i k x к га 0,1,2,3, кийматлар бериб илдизларни аниклаймиз: i i x i x i x i x 4 6 sin 4 6 cos 4 1 4 4 sin 4 4 cos 1 4 2 sin 4 2 cos 1 0 sin 0 cos 3 2 1 М и с о л : x 3 +Z = 0 тенгламани ечинг, бу ерда ) 4 sin 4 (cos 2 i Z Ечими: 3 2 225 sin 3 2 225 (cos 2 ) 4 5 sin 4 5 (cos 2 0 0 3 3 3 k i k i Z x к урнига 0,1,2,ларни куйиб, барча илдизларни топамиз ) 315 sin 315 (cos 2 ) 195 sin 195 (cos 2 ) 75 sin 75 (cos 2 0 0 3 3 0 0 3 2 0 0 3 1 i x i x i x С а в о л л а р : 1.Муавр формуласини ёзинг. 2.Комплекс сондан илдиз чикариш тартиби кандай? 3.Икки хадли тенглама деб кандай тенгламаларга айтилади ва улар кандай ечилади. 24- М А Ъ Р У З А ИККИ ВА УЧ КАРРАЛИ ИНТЕГРАЛЛАР ТУГРИСИДА ТУШУНЧАЛАР .ЭГРИ ЧИЗИКЛИ ИНТЕГРАЛЛАР ТУГРИСИДА ТУШУНЧАЛАР ВА УЛАРНИ ЕЧИШ. Таянч иборалар: Икки каррали интеграл, уч каррали интеграл, эгри чизикли интеграл. 1.Икки каррали интеграллар. ОХУ текисликда ётувчи D сохани координата укларидан бирига, масалан, ОУ укка параллел булган ва соханинг ички нуктасидан утадиган хар кандай тугри чизик унинг чегарасини икки N 1 ва N 2 нуктада кесиб утадиган килиб оламиз.(19-расм). 19-расм Каралаётган холда D соха y = 1 (x) , y = 2 (x) , x=a , x=b чизиклар билан чегараланган,бунда 1 (x) < 2 (x) , a 1 (x) , 2 (x) функциялар [a;b ] кесмада узлуксиз деб фараз этамиз. Бундай сохани биз ОУ ук йуналишида тугри булган соха деб айтамиз. ОХ ук йуналишда тугри булган соха хам шунинг сингари аникланади. y 0 x N 1` b a r D N 2` x y= 2 (x) y= 1 (x) Хам ОХ ва хам ОУ уклар йуналишида тугри булган сохани кискача тугри соха деймиз. Берилган D сохада Z = f (x,y) функция узлуксиз булсин.Куйидаги ифода f (x,y) функциядан D соха буйича олинган икки каррали интеграл деб айтилади ва I D билан белгиланади: b a x x D dx dy y x f J ) ( ) ( 2 1 ) ) , ( ( Уни хисоблаш учун х ни узгармас деб караб , кавс ичидаги ифодани аввал у буйича аник интегралини топамиз: ) ( ) ( 2 1 ) , ( ) ( x x dy y x f x Ф Бу функцияни х буйича а дан b гача чегарада интеграллаб , икки каррали интегралнинг кийматини чикарамиз: b a D dx x Ф J ) ( М и с о л: Ушбу икки каррали интегрални хисобланг : 1 0 0 3 3 ) ) ( ( x D dx dy y x J Ечими: 1 0 1 0 5 4 1 0 4 4 1 0 0 4 0 3 1 0 0 3 0 3 4 1 | 4 1 4 5 ) 4 ( ) | 4 | ( ) ( x dx x dx x x dx x y x dx dy y dy x J x x x x D 2. Икки каррали интегралнинг хоссалари. а) агар ОУ ук йуналишида тугри булган D сохани ОУ ёки ОХ укка параллел тугри чизик билан икки D 1 ва D 2 сохага булинса , D соха буйича олинган икки каррали I D интеграл D 1 ва D 2 сохалар буйича олинган икки каррали интегралларнинг йигиндисига тенг : 2 1 D D D J J J б) f (x,y) функциянинг D сохадаги энг кичик ва энг катта кийматлари мос холда m ва M булсин , D соханинг юзини S билан белгилаймиз . У холда куйидаги муносабат уринли булади: b a x x MS dx dy y x f mS ) ( ) ( 2 1 ) ) , ( ( в) f (x,y) узлуксиз функциянинг D соха буйича олинган I D икки каррали интеграли , D соханинг S юзини функциянинг D сохада олинган бирор Р нуктасидаги кийматига купайтмасига тенг: b a x x S P f dx dy y x f ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ) , ( ( 3. Икки каррали интеграллар ёрдамида юзалар ва хажмларни хисоблаш. а) Z = f (x,y), (f (x,y)>0) сирт , D тугри соха, йуналтирувчиси D тугри соханинг чегарасидан иборат булган чизик, ясовчиси эса 0Z укка параллел цилиндрик сирт билан чегараланган жисмнинг V хажми D тугри соха буйича f (x,y) функциядан олинган икки каррали интегралга тенг (20-расм). 20-расм b a x x dx dy y x f V ) ( ) ( 2 1 ) ) , ( ( y z 0 D z=f(x,y) x 1 (x) 2 (x) b a М и с о л : x=0, y=0 , x+y+z=1, z=0 сиртлар билан чегараланган жисмнинг хажмини топинг. Ечими: Download 1.64 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling