Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат

Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус 
таълим вазирлиги  
 
Бухоро озик-овкат ва енгил саноат  
технология институти 
 
 
«Математика» кафедраси 
 
 
 
 
 
 
«Олий математика» фанидан  
бахорги мавсум учун маърузалар  
туплами 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Бухоро - 2001 й. 
 
 

 
 
Маъруза 
матнлари 
«Математика» 
кафедрасининг  2000  йил  13  ноябр  кунги    3-сонли 
мажлисида  мухокама  этилди  ва  чоп  этишга  тавсия 
этилди. 
 
 
Тузувчилар :                       «Математика» кафедраси       
                                             доцентлари 
                      Салихов Ш.Н. 
                     Исматов Х.Б. 
 
 
Такризчи :                        Бухоро давлат университети   
                     кафедра мудири, 
                                 доцент    Ахмедов Х.Х. 
 
 
Мухаррир :                        «Математика» кафедраси     
          мудири, 
                                 доцент  Расулов Н.П. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
«Олий математика» фанидан бахорги мавсум 
учун укув дастури 
 
 
I. Аникмас интеграл. 
 
Бошлангич  функция  ва  аникмас  интеграл.  Интеграллар 
жадвали.  Интеграллаш  усуллари  .  рационал,  баъзи  иррационал  ва 
тригонометрик функцияларни интеграллаш. 
 
 
                                         II. Аник интеграл. 
 
Аник  интеграл  тушунчасига  келтирувчи  масалалар.  Аник 
интегралнинг  таърифи  ва  унинг  хоссалари.  Ньютон-Лейбниц 
формуласи. Аник интегрални хисоблаш усуллари. Аник интегрални 
такрибий хисоблаш формулалари. Хосмас интеграллар ва уларнинг 
хоссалари. 
 
 
III. Куп узгарувчили функциялар. 
 
Куп  узгарувчили  функциялар  таърифи.  Аникланиш  сохаси. 
Куп  узгарувчили  функциянинг  лимити  ва  узлуксизлиги.  Хусусий 
хосилалар.  Тула  хосила,  тула  дифференциал.  Юкори  тартибли 
хусусий  хосилалар.  Куп  узгарувчили  функциянингэкстремуми. 
Градиент, йуналиш буйича хосила. 
 
 
                     IV. Сонли ва функцияли каторлар. 
 
Сонли  каторлар  таърифи,  хусусий  йигиндилар.  Катор 
якинлашишининг  зарурий  шарти.  Мусбат  хадли  каторлар 
якинлашишининг  етарли  шартлари.  Ишоралари  навбатлашувчи 
каторлар.  Лейбниц  аломати.  Ишоралари  узгарувчан  каторлар. 
Абсалют  ва  шартли  якинлашиш.  Функцияли  каторлар.  Даражали 
каторлар якинлашиш сохаси, якинлашиш сохасини топиш усуллари. 
Функцияли  каторларни  дифференциаллаш  ва  интеграллаш.  Тейлор 
ва Маклерон каторлар. Биномиал каторлар. 
 
 

 
 
V. Каррали ва эгри чизикли интеграллар. 
 
Каррали  ва  эгри  чизикли  интегралларнинг  таърифлари, 
хоссалари  ва  хисоблаш  усуллари.  Икки  каррали  интегралнинг 
тадбиклари. 
 
 
VI. Оддий дифференциал тенгламалар. 
 
Дифференциал 
тенгламаларга 
келтирувчи. 
Биринчи 
тартибли 
дифференциал  тенгламалар.  Ечимларнинг  мавжудлиги  ва  ягоналиги 
хакидаги  Коши  теоремаси.  Узгарувчилари  ажраладиган,  чизикли,  бир 
жинсли биринчи тартибли дифференциал тенгламаларни интеграллаш. 
Юкори  тартибли  дифференциал  тенгламалар.  Тартибини  пасайтириш 
мумкин 
булган 
тенгламалар. 
Юкори 
тартибли, 
узгармас 
коэффициентли,  биржинсли  тенгламалар.  Иккинчи  тартибли,  узгармас 
коэффициентли 
биржинслимас 
тенгламалар. 
Дифференциал 
тенгламаларнинг системаси 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

МУНДАРИЖА 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
бетлар 
 
 
1.  БОШЛАНГИЧ ФУНКЦИЯ. ИНТЕГРАЛЛАР ЖАДВАЛИ                   1  
2.  ИНТЕГРАЛЛАШ     УСУЛЛАРИ.                                                              5 
3.  KВАДРАТИК УЧХАД КАТНАШГАН БАЪЗИ ФУНК- 
ЦИЯЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ. ЭНГ СОДДА  
РАЦИОНАЛ КАСРЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ.                                       8 
4.  АЦИОНАЛ КАСРЛАРНИ ЭНГ СОДДА РАЦИОНАЛ   
КАСРЛАРГА АЖРАТИШ. РАЦИОНАЛ  
КАСРЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ.                                                               15 
5.  ИРРАЦИОНАЛ  ФУНКЦИЯЛАРНИНГ ИНТЕГРАЛИ .   
ЭЙЛЕРНИНГ БИРИНЧИ АЛМАШТИРИШИ.                                       20                                                                                     
6.  ЭЙЛЕРНИНГ ИККИНЧИ ВА УЧИНЧИ  
АЛМАШТИРИШЛАРИ.                                                                               23 
7.  ТРИГОНОМЕТРИК ФУНКЦИЯЛАР КАТНАШГАН  
БАЪЗИ ИФОДАЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ.                                             26 
8.  АНИК ИНТЕГРАЛ ТАЪРИФИГА ОЛИБ  
КЕЛУВЧИ МАСАЛАЛАР. АНИК ИНТЕГРАЛНИНГ  
ТАЪРИФИ ВА ХОССАЛАРИ.                                                                     31 
9.  НЬЮТОН – ЛЕЙБНИЦ ФОРМУЛАСИ ВА АНИК  
ИНТЕГРАЛНИ ХИСОБЛАШ УСУЛЛАРИ.                                             35 
10.ХОСМАС ИНТЕГРАЛЛАР ХАКИДА ТУШУНЧАЛАР.  
ХОСМАС ИНТЕГРАЛЛАРНИ   ХИСОБЛАШ.                                       40 
11.АНИК ИНТЕГРАЛНИ ТАКРИБИЙ ХИСОБЛАШ.                                44 
12.АНИК ИНТЕГРАЛ ОРКАЛИ    ЮЗАЛАРНИ,  
ХАЖМЛАРНИ, ЁЙ УЗУНЛИКЛАРИНИ ХИСОБЛАШ.                       47  
13.СОНЛИ КАТОРЛАР  ВА УЛАРНИНГ АСОСИЙ  
ХОССАЛАРИ.                                                                                                  50         
14.МУСБАТ ХАДЛИ СОНЛИ КАТОРЛАР  
ЯКИНЛАШИНИНИНГ ЕТАРЛИ ШАРТЛАРИ.                                      55 
15.ИШОРАЛАРИ НАВБАТЛАШУВЧИ КАТОРЛАР ,  
УЗГАРУВЧАН ИШОРАЛИ КАТОРЛАР , ШАРТЛИ  
ВА АБСОЛЮТ ЯКИНЛАШИШЛАР.                                                        59  
16.ФУНКЦИОНАЛ КАТОРЛАР . ДАРАЖАЛИ КАТОР- 
ЛАР ВА УЛАРНИНГ ЯКИНЛАШИШ ОРАЛИКЛАРИ.                        62 
17.ДАРАЖАЛИ КАТОРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ  
ВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЛАШ.ТЕЙЛОР ВА МАКЛОРЕН  
КАТОРЛАРИ.                                                                                                  66 
18.КУП  УЗГАРУВЧИЛИ  ФУНКЦИЯЛАР. ИККИ  
УЗГАРУВЧИ ФУНКЦИЯ ЛИМИТИ  УЗЛУКСИЗЛИГИ.                     70 
19.ИККИ   УЗГАРУВЧИЛИ  ФУНКЦИЯНИНГ ХОСИЛАЛАРИ.            75  
20.ТУЛА  ОРТТИРМА  ВА ТУЛА  ДИФФЕРЕНЦИАЛ, 
ГРАДИЕНТ. ЙУНАЛИШ БУЙИЧА ХОСИЛА.                                       79 
21.ИККИ УЗГАРУВЧИЛИ ФУНКЦИЯНИНГ ЭКСТРЕМУМИ.  
ШАРТЛИ ЭКСТРЕМУМ.                                                                             83 
 

22.КОМПЛЕКС СОНЛАРНИНГ АЛГЕБРАИК, ТРИГОНО- 
МЕТРИК ВА КУРСАТКИЧЛИ КУРИНИШЛАРИ ВА УЛАР  
УСТИДА АРИФМЕТИК       АМАЛЛАР.                                                88 
23.МУАВР ФОРМУЛАСИ . КОМПЛЕКС СОНДАН ИЛДИЗ  
ЧИКАРИШ. ИККИ ХАДЛИ ТЕНГЛАМАЛАРНИ ЕЧИШ.                92 
24.ИККИ ВА УЧ КАРРАЛИ ИНТЕГРАЛЛАР ТУГРИСИДА 
ТУШУНЧАЛАР .ЭГРИ ЧИЗИКЛИ ИНТЕГРАЛЛАР  
ТУГРИСИДА ТУШУНЧАЛАР ВА УЛАРНИ ЕЧИШ.                         95 
25.ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАРГА  КЕЛУВЧИ  
МАСАЛАЛАР. УМУМИЙ  ВА ХУСУСИЙ ЕЧИМЛАР. 
УЗГАРУВЧИЛАРИ АЖРАЛАДИГАН ВА ЧИЗИКЛИ  
БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ ТЕНГЛАМАЛАР.                                           102 
26.БИР ЖИНСЛИ ВА ТУЛА ДИФФЕРЕНЦИАЛЛИ ТЕНГЛА- 
МАЛАР. ЮКОРИ ТАРТИБЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛА- 
МАЛАР. у
(n)
=f (x)  КУРИНИШДАГИ ТЕНГЛАМАЛАР.                     107 
27.ТАРТИБИ ПАСАЮВЧИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР .    111    
28.ЮКОРИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИКЛИ УЗГАРМАС КОЭФФИ- 
ЦЕНТЛИ БИР ЖИНСЛИ ДАФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР.    115 
29.УЗГАРМАС КОЭФФИЦЕНТЛИ ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ  
БИР ЖИНСЛИ ЧИЗИКЛИ ТЕНГЛАМАЛАР.                                      119    
30.УЗГАРМАС КОЭФФИЦИЕНТЛИ ЧИЗИКЛИ ДИФФЕ- 
РЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИ.                                       124 
31.АДАБИЕТЛАР РУЙХАТИ.                                                                       129 
 
1- М А Ъ Р У З А 
 
БОШЛАНГИЧ ФУНКЦИЯ. ИНТЕГРАЛЛАР ЖАДВАЛИ. 
 
Таянч  иборалар:
  Бошлангич  функция,  интеграл,  интеграл  остидаги  ифода, 
интеграллар жадвали.  
 
а)  Бошлангич функция ва унинг хоссалари. 
 
ТАЪРИФ:  Бирор  ораликда  аникланган    f(х)  функция  учун  бу  ораликнинг  хамма 
кийматларида 
                                                F

(х)=f(х) 
тенглик  уринли  булса,  у  холда  F(х)  функция  f(х)  функциянинг  бошлангич  функцияси  
дейилади. 
М и с о л : 1) F(x)=
a
ln
а
х
 , (
а
,
а 1


0) бутун сонлар чизигида f (x)=
х
а
 функциянинг 
бошлангич функцияси булади, чунки х нинг исталган кийматида  
                                             F

(x)= (
a
ln
а
х
)

=
х
а
=f(х) 
тенглик тугри булади. 
   
2)  F(x)=
5
5
х
  функция  сонлар  укининг  хамма  нукталарида  f(х)=
4
х
 
функциянинг  бошлангич  функцияси  булади,  чунки  х  нинг  исталган  кийматида  унинг 
хосиласига нисбатан 

                                              F

(x)= (
5
5
х
)

=
4
х
=f(х) 
 тенглик уринли булади. 
   
Берилган функциянинг бошлангич функциясини топиш масаласи бир кийматли 
хал  килинмайди.  Хакикатан      хам,    агар  F(x)функция  f(х)  нинг    бошлангич  функцияси 
булса,у холда F(x)+С функция хам (бунда С ихтиёрий узгармас сон) f (х) нинг бошлангич 
функцияси булади, чунки С нинг исталган киймати учун (F(x)+С)

= f (х) булади. 
М и с о л :  F(x)= 
a
ln
а
х
  функция f(х)=
х
а
 функциянинг бошлангич функцияси  юкорида 
курилди. 
                                
)
(
ln
)
)
(
(
x
f
a
C
a
a
C
x
F
x
x













 
 
тенгликдан эса  
C
a
a
x

ln
  функция хам  а
х
   функциянинг бошлангич  
функцияси эканлиги келиб чикади. 
   
Юкоридаги  мулохазалардан  бошлангич  функцияларнинг  куйидаги  хоссаси 
келиб чикади. 
ЛЕММА:  Агар F(x)  ва 

(х)  функция f(х)  функциянинг бошлангич функциялари булса, 
у холда  Ф(х) = F(x)+С тенглик уринли  булади, бунда  С  ихтиёрий узгармас сон. 
И с б о т : F(x)  ва 

(х) функция f(х) нинг бошлангич функциялар булгани учун 
                          F 

(x) = f (х)     ва         Ф 

(x) = f (х) 
тенглик тугри булади. 
Ёрдамчи  Q(x)  функцияни киритамиз :   
                                 

(х) - F(x)  = Q(x) 
унинг хосиласи   х  нинг хамма кийматларида нолга тенг, хакикатан хам , 
                  Q

(x) = [Ф(х)- F(x)]

= Ф 

(x) - F 

(x)= f (х)- f (х)=0 
Лекин Q

(x)=0  тенгликдан Q(x)нинг узгармас сон экани келиб чикади: Q

(x)=С, Ф(х)- F(x) 
=С. 
Фараз  килайлик,  х
0
    аргументнинг  тайинланган  киймати,  х  эса  унинг  истаган  киймати 
булсин. [х
0 
,х]  ораликда Лагранж формуласини тузамиз: 
                                Q(x)- Q(x
0
)= Q

(

)(х- х
0 
)  ,
 
бунда  x
0
<

<x    булади.    
   
Биз Q

(x) =0  тенглик  х  нинг хамма кийматида, шу жумладан , 

 да хам Q

(

)=0  
булгани  учун  Q(x)-  Q(x
0
)=0    яъни  Q(x)=Q(x
0
)    ни  хосил  киламиз.  Бу  холда  Q(x) 
функциянинг киймати  х нинг  хамма кийматида бир хил булишини билдиради. Шундай 
килиб, Q(x)=С ёки 
                               Ф(х)- F(x) =С 
тенглик уринли булади. Лемма исботланди. 
Исботланган леммадан, берилган функциянинг иккита бошлангич функцияси бир-биридан 
факат узгармас сонга фарк килиши  келиб чикади. 
 
                       б)  Аникмас интеграл ва унинг хоссалари. 
                                             Интеграллар жадвали. 
                
ТАЪРИФ:  Агар F(x) функция бирор ораликда f (х) функциянинг бошлангич функцияси 
булса, у холда F(x)+С (бунда  С ихтиёрий доимий) функциялар туплами шу кесмада f (х)  
функциянинг аникмас интеграли дейилади ва 
                                  



C
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
    
каби  белгиланади.  Бу  ерда  f  (х)  интеграл  остидаги  функция,  f  (х)dx    интеграл  остидаги 
ифода, х  интеграллаш узгарувчиси дейилади. 

   
Аникмас интегрални топиш жараёни интеграллаш дейилади. Кесмада узлуксиз 
булган  истаган  функция  шу  ораликда  бошлангич  функцияга  эга,  демак,  аникмас 
интегралга хам эга эканини исботсиз айтиб утамиз. 
М и с о л :  1)  



C
a
a
dx
а
x
х
ln
 
                             2) 
C
x
dx
x



5
4
5
       
                     3) 



C
x
x
dx
ln
 
Аникмас интеграл  куйидаги хоссаларга эга : 
I. 
Аникмас  интегралнинг хосиласи интеграл остидаги функцияга тенг,яъни 
                                  
)
(
)
)
(
(
x
f
dx
х
f



 
Исбот: 
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
x
f
x
F
C
x
F
dx
х
f








 
II. 
Аникмас интегралнинг дифференциали интеграл остидаги ифодага тенг,яъни 
                             
dx
x
f
dx
x
f
d
)
(
)
)
(
(


 
III. 
Бирор функциянинг хосиласидан олинган аникмас интеграл шу функция билан 
ихтиёрий узгармаснинг йигиндисига тенг,яъни 
                               




C
x
F
dx
x
F
)
(
)
(
 
IV. 
Бирор  функциянинг  дифференциалидан  олинган  аникмас  интеграл  шу  функция 
билан узгармас йигиндисига тенг,яъни 
                              



C
x
F
x
dF
)
(
)
(
 
V. 
Узгармас  k купайтувчини интеграл белгиси ташкарисига чикариш мумкин,яъни 
                              



dx
x
f
k
dx
x
kf
)
(
)
(
 
VI. 
Чекли  сондаги  функцияларнинг  алгебраик  йигиндисидан  олинган  аникмас 
интеграл  шу  функцияларнинг  хар  биридан  олинган  аникмас  интегралларнинг 
алгебраик йигиндисига тенг,яъни 
                                                                                 









dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
x
f
)
(
)
(
)
(
))
(
)
(
)
(
(
3
2
1
3
2
1
 
 
                        
 
 
в)  Асосий  интеграллар  жадвали. 
 
1. 



c
x
dx
                                             2. 





c
n
x
dx
x
n
n
1
1
 
3. 




c
x
x
dx
1
2
                                         4.  



c
x
x
dx
2
 
5.  



c
x
x
dx
ln
                                        6.  



c
a
a
dx
a
x
x
ln
 
7.  



c
e
dx
e
x
x
                                       8.  




c
x
cos
xdx
sin
 

9.  



c
x
sin
xdx
cos
                              10.  



c
tgx
x
cos
dx
2
 
11. 




c
ctgx
x
sin
dx
2
                             12.  



c
x
tg
x
dx
2
ln
sin
  
13. 





c
x
tg
x
dx
)
4
2
(
ln
cos
                   14.  




c
x
tgxdx
cos
ln
 
15. 



c
x
ctgxdx
sin
ln
                          16.  




c
a
x
arctg
a
a
x
dx
1
2
2
   
17.  





с
a
x
a
x
a
a
x
dx
ln
2
1
2
2
                    18. 




c
a
x
arcsin
x
a
dx
2
2
 
19.  






c
a
x
x
a
x
dx
2
2
2
ln
 
 
 
 
 
С а в о л л а р : 
 
1.Берилган функцияларнинг бошлангич функцияси деб нимага айтилади? 
2.Бошлангич функция кандай хоссаларга эга? 
3.Берилган функциянинг аникмас интеграли деб нимага айтилади? 
4.Аникмас интегралнинг энг оддий хоссаларини келтиринг? 
5.Жадвалли интегралларни келтиринг? 
 
 
 
 
 
2-М А Ъ Р У З А 
 
ИНТЕГРАЛЛАШ     УСУЛЛАРИ. 
 
Таянч  иборалар:
  Бевосита  интегралаш,  дифференциал  остига  киритиш, 
узгарувчиларни алмаштириш, булаклаб интеграллаш. 
 
а)  Бевосита  интеграллаш  усули  деб    V    ва  VI  хоссаларни  кулланиши,  шунингдек, 
интеграллашнинг асосий  формулалар  жадвалидан фойдаланиб интеграллашга айтилади. 
М и с о л :  Интегрални топинг: 
    
                                                      



dx
х
х
х
2
2
1
5
7