Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5 – М А Ъ Р У З А. 
  
ИРРАЦИОНАЛ  ФУНКЦИЯЛАРНИНГ ИНТЕГРАЛИ .  ЭЙЛЕРНИНГ БИРИНЧИ 
АЛМАШТИРИШИ. 
 
Таянч  иборалар:
    Иррационал  функциянинг  интеграли,  рационал  амаллар,        
Эйлер алмаштириши. 
 
а) Иррационал функцияларнинг интеграли. 
  
     Хар  кандай  иррационал  функциялардан  олинган  интеграл 
элементар 
 
функциялар 
оркали 
ифодаланавермайди. 
Узгарувчиларни алмаштириш ёрдамида рационал функциянинг 
интегралларига  келтириладиган  иррационал  функцияларнинг 
айримларини караймиз. 
1)
dx
x
x
x
R
s
r
n
m

)
,...,
,
(
  куринишдаги  интегрални  караймиз.  Бунда  
R 
узгарувчиларга  нисбатан  факат  рационал  амаллар 
бажарилишини курсатади, m, n ,r ,s,…-натурал сонлардир. 
Интеграл  остидаги  функцияни  рационал  функцияга  келтириш  учун 
s
r
n
m
,...,
 
касрларнинг  умумий  махражи  k  ни  топиш  ва 
dt
kt
dx
t
x
k
k
1
,



  алмаштириш 
бажариш максадга мувофикдир. 
М и с о л : Ушбу интеграл хисоблансин: 
                                         


1
4
3
x
dx
x
 
Ечими:              


.
1
4
3
x
dx
x
=


.
1
4
3
2
1
x
dx
x
  
4
3
,
2
1
    касрларнинг  умумий  махражи    4  булади,  шунинг  учун    х  =  t
4
  ,  dx=4t
3
dt  
алмаштиришни бажарамиз : 
                    










dt
t
t
t
dt
t
t
t
x
dx
x
)
1
(
4
1
4
.
1
3
2
2
3
3
2
4
3
2
1
 
                  











C
t
t
dt
t
t
dt
t
1
ln
3
4
3
4
1
4
4
3
3
3
2
2
 
                  
C
 
x
x












1
ln
3
4
4
3
4
3
 

2) 













dx
d
сх
в
ах
d
сх
в
ax
x
R
s
r
n
m
)
(
,...,
)
(
,
      куринишдаги  интегрални  караймиз 
R,m,n,s,r,…ларга  юкорида  куйилган  шартлар  сакланади.  Агар    к  сон 
s
n
n
m
,...,
 
касрларнинг умумий махражи булса, бу интеграл 
                                            
к
t
d
сх
в
ax



 
алмаштириш  ёрдамида  рационал  функциянинг  интегралига  олиб  келади.  (а,в,с,d  бир 
вактда нолга айланмайдиган бутун сонлар). 
М и с о л :  Интегрални хисобланг : 
                                                




1
3
2
3
2
3
х
dx
х
 
Ечими:    Бу  ерда    а  =2,  в  =  -3,  с  =0  ,  d  =1    эканлигини  ва 
3
1
,
2
1
    касрларнинг  умумий 
махражи  6  эканлигини назарга олиб 
                                2х – 3 = t
6
  , t =
dt
3t
dx
 
 ,
х
5


6
3
2
 
алмаштириш бажарамиз. Натижада : 
       



















dt
t
t
t
t
t
dt
t
t
dt
t
t
x
dx
x
)
1
1
1
(
3
1
3
1
3
1
3
2
3
2
2
2
4
6
2
8
2
5
3
3
 
       











6
5
6
7
3
5
7
)
5
2
(
5
3
)
3
2
(
7
3
)
3
5
7
(
3
x
x
C
arctgt
t
t
t
t
 
       
C
x
arctg
x
x







6
6
3
2
3
3
2
3
3
2
 
 
б) Эйлернинг биринчи алмаштириши. 
 
Ушбу 
                               



dx
с
вх
ax
x
R
)
,
(
2
                          (В) 
куринишдаги  интегрални  караймиз,  бунда  а

0  (В)  интегралда  а>0  булсин,  у  холда 
Эйлернинг биринчи алшмаштириши деб аталмиш  
                            
t
х
а
с
вх
ах





2
 
алмаштириш бажариб интеграл остидаги функцияни рационал функцияга келтирамиз : 
                        
2
2
2
2
t
хt
а
ах
с
вх
ах





 , 
                                     
t
а
в
c
t
х
2
2



  , 
                  
t
а
в
c
t
а
t
х
а
с
вх
ax










2
2
2
  , 

                            
dt
t
а
в
c
а
вt
t
а
dx
2
2
)
2
(
2
2
6





 
                       




dx
с
вх
ax
x
R
)
,
(
2
 
                











dt
t
а
в
c
а
вt
t
а
t
а
t
в
c
t
а
 
 ,
t
а
в
c
t
R
2
2
2
2
)
2
(
2
2
6
)
2
)
(
2
(
 
Шундай килиб  (В)  интеграл остидаги функция  t  нинг рационал функциясига айланди. 
М и с о л :  Ушбу  интеграл  хисоблансин : 
                                      


c
x
dx
2
 
Ечими:  Бу ерда  а=1>0  булгани учун 
                                    
t
x
c
x




2
  
алмаштириш бажарамиз, бу холда 
                                 
2
2
2
2
t
xt
x
c
x




 , 
        
dt
t
c
t
dx
  
  ,
t
c
t
t
t
c
t
t
x
c
x
  
 ,
t
c
t
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2














 
Дастлабки  интегралга  кайтамиз: 
               














C
c
x
x
C
t
t
dt
t
c
t
dt
t
c
t
c
x
dx
2
2
2
2
2
ln
ln
2
2
. 
 
 
 
С а в о л л а р : 
1.  
dx
x
x
x
R
s
r
n
m

)
,...,
,
(
 куринишдаги интеграллар кандай интегралланади? 
2. 













dx
d
сх
в
ах
d
сх
в
ax
x
R
s
r
n
m
)
(
,...,
)
(
,
      куринишдаги  интеграллар  кандай 
интегралланади? 
3. 



dx
с
вх
ax
x
R
)
,
(
2
  куринишдаги  интеграл    Эйлернинг  биринчи 
алмаштириши оркали кандай интегралланади ? 
 
 
 
 
6 -  М А Ъ Р У З А 
  
ЭЙЛЕРНИНГ ИККИНЧИ ВА УЧИНЧИ АЛМАШТИРИШЛАРИ. 
 

Таянч иборалар:    
Эйлернинг алмаштиришлари. 
 
а)  Эйлернинг иккинчи алмаштириши. 
Ушбу 
                          



dx
с
вх
ax
x
R
)
,
(
2
                                 (В) 
куринишдаги интегрални караймиз, бунда  а

0. 
Агар    с>0  булса,  бу  холда  (В)  интеграл  остидаги  функцияни  рационал  функцияга 
келтириш учун 
                          
c
хt
с
вх
ax




2
 
алмаштириш  максадга мувофикдир. Бу тенглик оркали куйидагиларни топамиз (аниклик 
учун 
c
 олдида плюс ишорани оламиз): 
                      
, 
2
2
2
2
c
c
xt
t
x
с
вх
ax





  
                                 
  ,
t
а
в
t
c
x
2
2



 
               
 ,
t
a
c
a
вt
t
c
c
t
а
в
t
c
t
с
вх
ax
2
2
2
2
)
2
(










 
             
















dt
t
а
в
t
c
t
t
a
c
dt
t
а
в
t
c
dx
)
(
)
2
(
2
)
(
2
2
2
2
2
 
                  
dt
t
а
вt
t
c
a
c
)
(
2
2
2
2
2




 
Натижада  (В)  интеграл куйидаги куринишга келади : 
                




dx
с
вх
ax
x
R
)
,
(
2
 
 
         
















.
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dt
t
а
вt
t
c
a
c
t
а
c
a
вt
t
c
 
 ,
t
а
в
t
c
R
 
 М и с о л :    Интегрални  хисобланг : 
                          






dx
х
х
х
х
х
2
2
2
2
1
)
1
1
(
       
Ечими:_1_1_2______xt__х__х__деб'>Ечими:   
1
1
2




xt
х
х
    деб  оламиз, у холда  
                  
 ,
xt
t
x
x
x
1
2
1
2
2
2





 
                     
2
1
1
2
       
t
t
x



  , 
                      
2
2
2
1
1
1
1
t
t
t
xt
x
x








 
                
                       
dt
t
t
2t
dx
   
 ,
t
t
t
x
x
2
2
2
2
2
2
)
1
(
2
2
1
2
1
1











 

Хосил килинган ифодаларни дастлабки интегралга куямиз: 
         




















dt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
dx
x
x
x
x
x
)
1
(
)
1
(
)
1
2
(
)
1
(
)
2
2
2
)(
1
(
)
1
(
)
2
(
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 
            =














x
x
x
C
t
t
t
dt
t
t
)
1
1
(
2
1
1
ln
2
1
2
2
2
2
 
C
x
x
x
x
x
x
C
x
x
x
x
x
x





















1
1
2
2
ln
)
1
1
(
2
1
1
1
1
ln
2
2
2
2
  
б) Эйлернинг учинчи алмаштириши. 
Агар  (В)  интегралда  
с
вх
ах


2
 учхаднинг хакикий илдизлари  

 ва 

  булсин, бу 
холда 
                             
t
х
с
вх
ах
)
(
2





 
алмаштириш бажарамиз, бу холда 
                              
с
вх
ах


2
= а(х-

)(х-

) 
булгани сабабли 
                           
t
х
х
х
а
)
(
)
)(
(







  , 
                            
2
2
)
(
)
)(
(
t
х
х
х
а







 , 
                               
2
)
(
)
(
t
x
x
a
  





  , 
                                      
2
2
t
a
аt
х




   , 
         
2
2
2
2
2
2
)
(
t
a
t
t
at
a
t
t
a
аt
с
вх
ax























 
              












dt
t
a
at
dx
2
2







dt
t
a
at
t
t
a
аt
2
2
2
2
)
(
)
(
2
)
(
2
 
                   
dt
t
a
a
t
t
a
dt
t
t
a
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
2
)
(
)
2
2
(









 
Хосил  килинган  ифодаларни    (В)  интегралга  куйиб,  интеграл  остидаги  функцияни 
рационал функцияга алмаштирамиз: 
                           
                                




dx
с
вх
ax
x
R
)
,
(
2
 
                 





















dt
t
a
a
t
t
a
t
t
at
a
t
a
at
R
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
2
)
(
,
 
 
М и с о л :   Интегрални  хисобланг: 

                                    



2
2
x
x
x
dx
 
Ечими:       2+х-х
2
 = (х+1) (х-2)    булганлиги  сабабли, 
                      
)
1
(
2
2




x
t
х
х
 
деб оламиз , у холда 
                     
2
2
1
1
2





t
t
-
2
x
   
  ,
x
t
x
   
               
.
1
1
2
x
-
x
2
      
,
)
1
(
6
2
2
2
2
2














t
t
t
t
tdt
dx
 
Дастлабки  интегралга  кайтамиз: 
                 




















2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
1
1
2
1
2
6
2
t
t
t
t
t
t
tdt
x
x
x
dx
 
                      










C
t
t
t
dt
2
2
ln
2
1
2
2
2
 
           
C
x
x
x
x
C
t
t












3
4
2
2
2
ln
2
1
2
)
2
(
ln
2
1
2
2
2
 
 
 
 
 С а в о л л а р : 
 
1. Эйлернинг  иккинчи  алмаштириши  кандай  ва  у  оркали    интеграллаш  тартибини 
келтиринг. 
2.  Эйлернинг  учинчи  алмаштириши  кандай  ва  у  оркали    интеграллаш  тартибини 
келтиринг.