Узбекистон Республикаси олий ва урта махсус таълим вазирлиги Бухоро озик-овкат ва енгил саноат
Download 1.64 Mb. Pdf ko'rish
|
olij matematika fanidan bahorgi mavsum uchun maruzalar toplami
- Bu sahifa navigatsiya:
- М и с о л
- 8 - М А Ъ Р У З А
- 1.Эгри чизикли трапеция юзини хисоблаш масаласи.
- 2.Узгарувчи куч бажарган иш хакидаги масала.
- 3.Аник интегралнинг таърифи.
- 4.Аник интеграл хоссалари.
7– М А Ъ Р У З А ТРИГОНОМЕТРИК ФУНКЦИЯЛАР КАТНАШГАН БАЪЗИ ИФОДАЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ. Таянч иборалар: Универсал алмаштириш, рационал функция. а) Универсал алмаштириш. Ушбу dx x x R ) cos , (sin интеграл берилган булсин. Бу интеграл t x tg 2 алмаштириш ёрдами билан хаммавакт рационал функциянинг интегралига келтирилиши мумкинлигини курсатамиз. sinx ва cosx функцияларни 2 x tg билан, яъни t билан ифодалаймиз: 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 1 2 cos 2 sin 2 sin t t x tg x tg x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 1 2 sin 2 cos cos t t x x x x x x x Сунгра, 2 t 1 2dt dx , arctgt x 2 Демак , 2 2 2 1 2 1 1 2 ) cos (sin, t dt t t - 1 , t t R dx x R 2 М и с о л : Интегрални хисобланг : x dx sin Ечими: Юкорида ёзилган формулаларга асосан : C x tg C t t dt t t t dt x dx 2 ln ln 1 2 1 2 sin 2 2 2 б) Аникмас интеграл xdx x R cos ) (sin куринишда булсин. У холда dt cosxdx , x x sin бажариб куйидагини хосил киламиз. dt t R xdx x R ) ( cos ) (sin М и с о л : Интегрални хисобланг : . dx x cos sin 5 Ечими: C t C t dt t dt хdx t x dx x 6 sin 6 cos sin cos sin 6 6 5 5 в) Агар интеграл xdx x R sin ) (cos куринишда берилган булса, у холда dt - sinxdx , t x cos алмаштириш максадга мувофикдир : dt t R xdx x R ) ( sin ) (cos М и с о л : Интегрални хисобланг : dx x x 4 cos sin Ечими: C x C t dt t t dt dt dx t x x xdx 3 3 4 4 4 cos 3 1 3 1 sin cos cos sin г) Агар интеграл остидаги функция факат tgx га боглик булса, у холда tgx=t , х=аrctgx , t dt dx 2 1 алмаштириш ёрдамида бу интеграл рационал функциянинг интегралига келтирилади: 2 1 ) ( ) ( t dt t R dx tgx R М и с о л : Интегрални хисобланг : tgxdx Ечими: tgxdx = C t t t d t tdt t dt dx t tgx 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ) 1 ( 2 1 1 1 C x C x tg 2 2 cos 1 ln 2 1 1 ln 2 1 . д) Агар интеграл остидаги функция R(sinx,cosx) куринишда булса, аммо sinx,cosx функциялар факат жуфт даражаларда кирса, у холда tg=t алмаштириш татбик этилади, чунки 2 2 2 1 1 1 1 t x tg x сos 2 t 1 dt dx , t t x tg x tg x 2 2 2 2 2 1 1 sin М и с о л : Интегрални хисобланг : x dx 2 sin 2 Ечими: 2 2 2 2 1 sin sin 2 t t x t 1 dt dx , t tgx x dx 2 C tgx arctg C t arctg t dt t t t dt 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 е) Энди xdx x n m cos sin куринишдаги интеграл берилган булсин. Бунда уч холни караймиз: 1) m ва n дан камида биттаси ток сон. Аниклик учун n ток булсин. n=2p+1 деб олиб интегрални алмаштирамиз : xdx cos x cos x in s xdx cos x sin p m p m 2 1 2 . dt t t dt xdx cos t x sin xdx cos x sin x sin p m p m 2 2 1 1 Бу эса рационал функциянинг интеграли. 2) m ва n манфий булмаган жуфт сон. m=2p, n=2q деб фараз киламиз: sin 2 , x cos х 2 2 1 2 1 x cos x cos 2 2 1 2 1 2 (c) Буларни интегралга куямиз: . dx x cos x cos xdx cos x sin q p q p 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 Даражаларни кутариб, кавсларни очиб, cos2x нинг жуфт ва ток даражаларини уз ичига олган хадларни хосил киламиз, биринчи пунктда курсатилган усулдан ёки (с) формуладан фойдаланамиз. М и с о л : Интегрални хисобланг : xdx sin 4 Ечими: c x x x dx x x dx x x dx x xdx 8 4 sin 2 sin 2 3 4 1 4 cos 1 2 1 2 sin 1 4 1 2 cos 2 cos 2 1 4 1 2 cos 1 4 1 sin 2 2 4 С а в о л л а р : 1. dx x x R ) cos , (sin куринишдаги интегрални универсал алмаштириш усули оркали кандай интеграллаш мумкин ? 2. xdx x R cos ) (sin куринишдаги интеграллар кандай интегралланади ? 3. dx tgx R ) ( куринишдаги интеграллар кандай интегралланади ? 4. dx x x R n m ) cos , (sin куринишдаги интеграллар кандай интегралланади ? 8 - М А Ъ Р У З А АНИК ИНТЕГРАЛ ТАЪРИФИГА ОЛИБ КЕЛУВЧИ МАСАЛАЛАР. АНИК ИНТЕГРАЛНИНГ ТАЪРИФИ ВА ХОССАЛАРИ. Таянч иборалар: Эгри чизикли трапеция, интеграл йигинди, аник интеграл, аник интегралнинг геометрик маъноси, аник интегралнинг механик маъноси. 1.Эгри чизикли трапеция юзини хисоблаш масаласи. у= (х) узлуксиз функция, х=а, х=b, у=0 чизиклар билан чегараланган фигурага эгри чизикли трапеция деб айтамиз. Ш у ф и г у р а ю з и н и хисоблаш масаласини курайлик. [a; b] сегментни абциссалари х 1 х 2 … х i … х n-1 булган n-1 та нукта ёрдамида булакларга буламиз. Бунда а=х о ва b=х n деймиз. а 1 x 1 2 x 2 x i- 1 i x i b A 1 A A 2 A 3 A i x y 1 - расм В Булиш нукталари [a; b] сегментни n та кичик сегментларга булади: [х 0 ;х 1 ] , [х 1 ;х 2 ] ,… [х i-1 ;х i ] ,…. [х n-1 ;х n ] Булиниш нукталаридан ОУ укига параллел тугри чизиклар утказиб, эгри чизикли трапецияни n та кичик эгри чизикли трапецияларга ажратамиз, (1-расм). Равшанки эгри чизикли трапеция АВbа нинг юзи n та кичик эгри чизикли трапециялар йигиндисига тенг. Агар АВbа нинг юзи S, асоси [х i-1 ; х i ], (i=1,2,3,…,n) булган эгри чизикли кичик трапецияларнинг юзалари S i билан белгиланса, куйидагича булади: S= S 1 + S 2 +…+ S i +…+ S n ёки S= S i i n 1 (1) S i ларнинг аник кийматини топиб булмайди, такрибий кийматларни аниклаш учун эса [х i-1 ; х i ] сегментларнинг хар бирида ихтиёрий i нуктадан танлаб оламиз ва бу нукталарда f( i ) ординаталарини ясаймиз.1-расмдан куйидагилар куринади: S 1 f( 1 )(х 1 -х 0 ), S 2 f( 2 )(х 2 -х 1 ),…, S i f( i )(х i -х i-1 ) ,…, S n f( n )(х n -х n-1 ) (2) Агар х i -х i-1 = х i белгини киритиб (2) ларни (1) га куйсак АВbа эгри чизикли трапеция юзининг такрибий кийматини топган буламиз: S f x i i i n ( ) 1 (3) (3) ифодага f (x) функциянинг [a; b] кесмадаги интеграл йигиндиси деб айтилади. 2.Узгарувчи куч бажарган иш хакидаги масала. Механикадан маълумки, агар F куч таъсирида моддий нукта масофада силжиган булса, бажарилган иш Е куйдагича тенг Е= F (4) Бу ерда F-куч катталиги билан хам, йуналиши билан хам узгармас.Энди F куч узгармас йуналишни сакласа хам, сонли катталиги буйича узгарган холни караймиз. Айтайлик, бу куч таъсирида моддий нукта кучнинг таъсир чизиги йуналиши буйлаб йуналган тугри чизик буйлаб харакат килсин.F куч бажарган ишни хисоблаш масаласини караймиз. Моддий нукта харакат килаётган чизикни ОХ уки деб кабул киламиз: Йулнинг бошлангич ва охирги нукталари мос равишда а ва b ,(а<b)абциссаларга эга булсин .[а;b] сегментнинг хар бир нуктасида кучнинг катталиги маълум кийматга , яъни F=f (х) функция абциссасига эга булади.Бу функцияни узлуксиз деб хисоблаймиз. [a; b] сегментни n та кичик сегментларга буламиз.(2- расм). [х 0 ; х 1 ], [х 1 ; х 2 ], … [х i-1 ; х i ]… [х n-1 ; х n ]. (а=х о , b=х n ) Уларнинг узунлиги мос равишда х 1 = х 1 -х 0 , х 2 = х 2 -х 1 ,…, х i =х i -х i-1 ,…, х n =х n -х n-1 булади. [х i-1 ; х i ] сегментда F кучнинг бажарган иши Е i булсин, у холда [а; b] кесмада бажарилган иш куйидагига тенг: Е E i i n 1 (5) 0 а 1 x 1 2 x 2 x i- 1 i x i b x 2 - расм Е i ларнинг аник кийматини хисоблаб булмайди. Уларнинг такрибий кийматларини хисоблаш учун [х i-1 ; х i ] ларнинг хар бирида ихтиёрий i нукта танлаб оламиз ва шу нукталардаги F=f(х) функциянинг f( i ) кийматларини хисоблаймиз. (4) формулага кура Е 1 f( 1 ) х 1 , Е 2 f( 2 ) х 2 ,…, Е i f( i ) х i ,…, Е n f( n ) х n Буларни (5) тенгликка куйиб изланаётган ишнинг такрибий кийматини интеграл йигинди куринишида топамиз: i i n i x f Е ) ( 1 3.Аник интегралнинг таърифи. y=f(x) функция [а; b] кесмада узлуксиз булсин. х 0 =х 1 х 2 … х i … b=х n булиниш нукталари ёрдамида [а;b] кесмани n та кичик сегментларга ажратамиз.(1-расм). [х 0 ; х 1 ], [х 1 ; х 2 ], … [х i-1 ; х i ]… [х n-1 ; х n ]. [х i-1 ; х i ], i=1,2,3,…,n кичик сегментларнинг хар бирида ихтиёрий i нуктани танлаймиз. f (x) функциянинг i нуктадаги кийматини мос сегментнинг х i -х i-1 = х i узунлигига купайтириб (3) каби интеграл йигинди тузамиз. S f x i i i n ( ) 1 (3) ТАЪРИФ: Агар S интеграл йигинди [а; b] кесмани [х i-1 ; х i ] сегментларга ажратиш усулига ва уларнинг хар бирида i нуктанинг танлашига боглик булмайдиган I лимитга эга булсак, у холда бу I сон [а; b] кесмада f(x) функциядан олинган аник интеграл дейилади.ва f x dx а в ( ) каби белгиланади: n i b a i i x dx x f x x f I i 1 0 max ) ( ) ( lim Бу ерда а – куйи чегара, b – юкори чегара, f(x) – интеграл остидаги функция, f(x)dx – интеграл остидаги ифода дейилади. [а ; b] кесмада dx x f b а ) ( интеграли мавжуд булган f (x) функция бу кесмада интегралланувчи функция деб айтилади. 4.Аник интеграл хоссалари. а) a a dx x f ) ( =0 б) b a b a dx x f k dx x kf ) ( ) ( в) b a b a b a dx fdx dx f ) ( г) a b a b c c a dx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) ( д) Агар [а; b] кесмада f(x) 0 булса b a dx x f ) ( 0 е) Агар [а; b] кесмада f(x) (x) булса b a dx x f ) ( b a dx x) ( ж) Агар f(x) функция [а; b] кесмада узлуксиз булса, у холда бу кесмада шундай нукта топиладики, бунда b a dx x f ) ( = f( )(b-a) булади. з) f(x) 0 булганда b a dx x f ) ( АВ ва эгри чизикли трапециянинг юзига тенг (аник интегралнинг геометрик мазмуни), F=f(x) функция узгрувчан куч булганда b a dx x f ) ( бажарилган иш катталигига тенг.(аник интегралнинг механик мазмуни) Download 1.64 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling